c******i
发帖数: 4091 | |
c******i
发帖数: 4091 | |
t*******r
发帖数: 22634 | 3 教育系统的问题就是：十八层那位哥们在大喊 common-core，底层
一大堆大妈其实早就晕了，事实上就变成各行其事的 my-core
/ you-core / so-what-core 。。。
【在 c******i 的大作中提到】
: 例一：13 x 7 = 28
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c******i
发帖数: 4091 | 4 你的电算和肉算的说法，我还是很赞同的。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 教育系统的问题就是：十八层那位哥们在大喊 common-core，底层
: 一大堆大妈其实早就晕了，事实上就变成各行其事的 my-core
: / you-core / so-what-core 。。。
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s**********y
发帖数: 509 | 5 过直线外一点， 没有直线与已知直线平行。 多么逗比的几何?! how could you hire
such a person?
【在 c******i 的大作中提到】
: 例一：13 x 7 = 28
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c******i
发帖数: 4091 | 6 common core的目的是要建立新的数学体系还是学习现有的数学体系？
包括指导者和学习者对此工具系统的日常使用是否能够或者如何解决学习或者创建体系
时面临的阶段性的理解力限制和障碍？
hire
【在 s**********y 的大作中提到】
: 过直线外一点， 没有直线与已知直线平行。 多么逗比的几何?! how could you hire
: such a person?
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s**********y
发帖数: 509 | 7 common core 的一个基本点就是计算本身的掌握是第二位的，而计算背后的原则的讨论
是第一位的。 放在你的语境中就是通过构建数学体系来达到学习现有体系 和 锻炼创
新能力 的双重目的。
当然， 你可以从无数角度去质疑这一论点。
顺便说一句， 肥欧几何是主流， 你说的“新”的体系其实是已经成为数学的主流。
【在 c******i 的大作中提到】
: common core的目的是要建立新的数学体系还是学习现有的数学体系？
: 包括指导者和学习者对此工具系统的日常使用是否能够或者如何解决学习或者创建体系
: 时面临的阶段性的理解力限制和障碍？
:
: hire
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t*******r
发帖数: 22634 | 8 New Math 的主要目的不是为了建立新数学体系，而是因为 Traditional
Math 的数学体系里到处是逻辑漏洞，就好象一个 Swiss Cheese。而 New
Math 的最最重要的目的，是填上 Traditional Math 里面的那些漏洞，
而不是马上去建立不同的体系。
比如说到自然数方面，一说 New Math 就立马说到二进制。。。你丫二进制
跟十进制就啥区别？如果没有基于娃版 axiom of infinity 的自然数概念，
没有娃版符号化的 positional notation system 的概念，没有乘法分配率
环的概念，没有娃版 unique prime factorization ring 的概念，不管
是引入二进制还是两万进制，其实仍旧是 Traditional Math，换汤不换药
的 Traditional Math，因为根本就没有补上 Traditional Math 里的漏洞，
也不能严谨的扩展数系统，不过就是多 take for granted 另一个东东（这里
是二进制）。
比如说到欧氏几何，一说 New Math 就立马说非欧几何。。。俺就不多费口舌
了。。。俺就友情提醒一下， Hilbert's axioms 还有 Birkhoff's axioms
。。。
不过 New Math 的 implementation 很烂倒是真的。。。我觉得很多时候
不如大人直接去读 foundation of mathematics 或者 foundation of geometry
的 text，然后用形象图景表示给娃看。。。反正 New Math 的概念，对小学娃也
就是讲故事的级别。真正要用来电算，多半是本科以后的事了。。。小学考试也用不上
New Math 的。。。
【在 c******i 的大作中提到】
: common core的目的是要建立新的数学体系还是学习现有的数学体系？
: 包括指导者和学习者对此工具系统的日常使用是否能够或者如何解决学习或者创建体系
: 时面临的阶段性的理解力限制和障碍？
:
: hire
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m**k
发帖数: 18660 | 9 new math没啥必要。
抽象到大多数娃。大多数家长。大多数老师都不理解。完全没必要。
小学初中把算数代数弄清楚就够了。
搞抽象代数的需要万分之一都不到。
好比大多数人不需要懂什么相对论一样。。
【在 t*******r 的大作中提到】
: New Math 的主要目的不是为了建立新数学体系，而是因为 Traditional
: Math 的数学体系里到处是逻辑漏洞，就好象一个 Swiss Cheese。而 New
: Math 的最最重要的目的，是填上 Traditional Math 里面的那些漏洞，
: 而不是马上去建立不同的体系。
: 比如说到自然数方面，一说 New Math 就立马说到二进制。。。你丫二进制
: 跟十进制就啥区别？如果没有基于娃版 axiom of infinity 的自然数概念，
: 没有娃版符号化的 positional notation system 的概念，没有乘法分配率
: 环的概念，没有娃版 unique prime factorization ring 的概念，不管
: 是引入二进制还是两万进制，其实仍旧是 Traditional Math，换汤不换药
: 的 Traditional Math，因为根本就没有补上 Traditional Math 里的漏洞，
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t*******r
发帖数: 22634 | 10 就是有百万分之一的一小撮人懂相对论，就搞出了原子弹这样的大杀器，把脚盆国叫嚣
的 "一亿玉碎" 直接打扁成 "一亿下跪"。。。
前面那段是行为艺术。但现实地说，教育的一个重要任务，就是要尽可能让万分之一的
小高斯们能站在前浪的巨人的肩膀上。。。人类社会发展不是靠单纯拼数量。。。要说
几千万年前拼数量的那波，现在是蚂蚁或者小强。。。
new math 的确以失败告终，但不是说数学教育就因此不要往前发展了。。。
【在 m**k 的大作中提到】
: new math没啥必要。
: 抽象到大多数娃。大多数家长。大多数老师都不理解。完全没必要。
: 小学初中把算数代数弄清楚就够了。
: 搞抽象代数的需要万分之一都不到。
: 好比大多数人不需要懂什么相对论一样。。
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m**k
发帖数: 18660 | 11 为了百万分之一的人。
折腾其他999,999/1,000,000的人。我觉得这种浪费时间算是犯罪了吧。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 就是有百万分之一的一小撮人懂相对论，就搞出了原子弹这样的大杀器，把脚盆国叫嚣
: 的 "一亿玉碎" 直接打扁成 "一亿下跪"。。。
: 前面那段是行为艺术。但现实地说，教育的一个重要任务，就是要尽可能让万分之一的
: 小高斯们能站在前浪的巨人的肩膀上。。。人类社会发展不是靠单纯拼数量。。。要说
: 几千万年前拼数量的那波，现在是蚂蚁或者小强。。。
: new math 的确以失败告终，但不是说数学教育就因此不要往前发展了。。。
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S**********b
发帖数: 3142 | 12 不单单是折腾，
旧数学，80－90年代中国人在中国念的数学
虽然说都是17世纪之前的数学，即使微积分在17世纪也研究出来的
但是，旧数学一直是数学和科学结合一起
所以在念K12阶段数学，也同时在培养各种科学人才。
从David Hilbert 到Bourbaki 那一套抽象数学，连理论物理学家都差之千里
究竟什么是数学，K12该学怎样的数学，这些是哲学问题，也许需要几十年几百年才能
得到最终答案。
美国的新数学在60年代的失败是因为培养出来的人根本无法继续沿着科学和工程方向走
下去。因为训练严重不足。
至于这个所谓的common core 跟新数学几乎不搭界，跟抽象不搭界
看起来更像一个发教育横财的scheme。
【在 m**k 的大作中提到】
: 为了百万分之一的人。
: 折腾其他999,999/1,000,000的人。我觉得这种浪费时间算是犯罪了吧。
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m**k
发帖数: 18660 | 13 common core的核心。
我理解，其实是一套统一标准。其实和什么新数学/新新数学没啥大关系。
common core的目的。其实是为了统一一套全国的教学大纲而已。
但既然是新的大纲，
总要加价减减一些东西。
总让人不习惯。
【在 S**********b 的大作中提到】
: 不单单是折腾，
: 旧数学，80－90年代中国人在中国念的数学
: 虽然说都是17世纪之前的数学，即使微积分在17世纪也研究出来的
: 但是，旧数学一直是数学和科学结合一起
: 所以在念K12阶段数学，也同时在培养各种科学人才。
: 从David Hilbert 到Bourbaki 那一套抽象数学，连理论物理学家都差之千里
: 究竟什么是数学，K12该学怎样的数学，这些是哲学问题，也许需要几十年几百年才能
: 得到最终答案。
: 美国的新数学在60年代的失败是因为培养出来的人根本无法继续沿着科学和工程方向走
: 下去。因为训练严重不足。
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S**********b
发帖数: 3142 | 14 No. common core 不是 教学大纲。
教学大纲是像前苏联和中国80年代的那种才是大纲。
common core只是给出些考点。
【在 m**k 的大作中提到】
: common core的核心。
: 我理解，其实是一套统一标准。其实和什么新数学/新新数学没啥大关系。
: common core的目的。其实是为了统一一套全国的教学大纲而已。
: 但既然是新的大纲，
: 总要加价减减一些东西。
: 总让人不习惯。
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m**k
发帖数: 18660 | 15 我理解就是大纲。。
所以全称才叫Common Core State Standards Initiative
【在 S**********b 的大作中提到】
: No. common core 不是 教学大纲。
: 教学大纲是像前苏联和中国80年代的那种才是大纲。
: common core只是给出些考点。
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t*******r
发帖数: 22634 | 16 高中的语文数学物理化学生物地理，有多少人将来工作时用到了那些定理公式知识了？
要说犯罪，这罪早就犯了几百年了。
所谓大众教育，说白了是掩盖在大众教育的幌子下的精英教育。。。当然老师们离工业
界太远，身在庐山看不见也是可以理解。。。另一方面，老师教娃也并不需要深入理解
，遵循已建立的教育模式就应该能胜任。否则的话，社会教育成本太高了。
我看来一点点 new math 的 implementation，似乎 new math 需要要改写数学公理定
理，希望能 implementable。。。但这个改写可能是最坑爹的地方。
【在 m**k 的大作中提到】
: 为了百万分之一的人。
: 折腾其他999,999/1,000,000的人。我觉得这种浪费时间算是犯罪了吧。
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m**k
发帖数: 18660 | 17 物理化学生物地理，很多东西在平常用的多了。。。
更何况现在西方教育本身就不以公式定理知识为主。。
数学还是要按照数学发展的历史顺序来学。
这本身就是人思维发展的自然过程。
不过把几千年的东西在几年教授。
抽象代数啥的才几年。
还是要先具体，再抽象。
当然。象 潮水兄这样的几个西咯马 外的除外。。哈哈
【在 t*******r 的大作中提到】
: 高中的语文数学物理化学生物地理，有多少人将来工作时用到了那些定理公式知识了？
: 要说犯罪，这罪早就犯了几百年了。
: 所谓大众教育，说白了是掩盖在大众教育的幌子下的精英教育。。。当然老师们离工业
: 界太远，身在庐山看不见也是可以理解。。。另一方面，老师教娃也并不需要深入理解
: ，遵循已建立的教育模式就应该能胜任。否则的话，社会教育成本太高了。
: 我看来一点点 new math 的 implementation，似乎 new math 需要要改写数学公理定
: 理，希望能 implementable。。。但这个改写可能是最坑爹的地方。
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t*******r
发帖数: 22634 | 18 高中物理还是用到相对最多一点。化学生物，大部分人基本初中的就够用了。。。
娃版的抽象代数（其实是工程所用到的抽象代数基本概念，不是钻牛角尖的那些），印
象中是 1800 - 19xx 的东东？都在计算机理论之前应该就妥妥地建立了。
【在 m**k 的大作中提到】
: 物理化学生物地理，很多东西在平常用的多了。。。
: 更何况现在西方教育本身就不以公式定理知识为主。。
: 数学还是要按照数学发展的历史顺序来学。
: 这本身就是人思维发展的自然过程。
: 不过把几千年的东西在几年教授。
: 抽象代数啥的才几年。
: 还是要先具体，再抽象。
: 当然。象 潮水兄这样的几个西咯马 外的除外。。哈哈
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S**********b
发帖数: 3142 | 19 教学大纲是syllabus
common core 是standards，呵呵
syllabus是什么样子呢？
具体的教材、教学法、考试都是遵循一系列的教学哲学和纲法。
比如中国1984年的数学大纲大致，在小学先学算术，算术里面有个代数初步，为初中学
代数作准备。初中学代数和几何。小学算术里面可不是单单四则运算。小学算术里面包
括分数、小数、单位换算、简单的测量，诸如此类。这些训练都是为了将来的物理化学
作准备的。
你看看美国的common core 是什么呢？
是些考试基本点，哈哈
【在 m**k 的大作中提到】
: 我理解就是大纲。。
: 所以全称才叫Common Core State Standards Initiative
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m**k
发帖数: 18660 | 20 涨知识了啊。。。thanks
【在 S**********b 的大作中提到】
: 教学大纲是syllabus
: common core 是standards，呵呵
: syllabus是什么样子呢？
: 具体的教材、教学法、考试都是遵循一系列的教学哲学和纲法。
: 比如中国1984年的数学大纲大致，在小学先学算术，算术里面有个代数初步，为初中学
: 代数作准备。初中学代数和几何。小学算术里面可不是单单四则运算。小学算术里面包
: 括分数、小数、单位换算、简单的测量，诸如此类。这些训练都是为了将来的物理化学
: 作准备的。
: 你看看美国的common core 是什么呢？
: 是些考试基本点，哈哈
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m**k
发帖数: 18660 | 21 没那么早吧。。
何况那些和微积分比，都抽象好多了
【在 t*******r 的大作中提到】
: 高中物理还是用到相对最多一点。化学生物，大部分人基本初中的就够用了。。。
: 娃版的抽象代数（其实是工程所用到的抽象代数基本概念，不是钻牛角尖的那些），印
: 象中是 1800 - 19xx 的东东？都在计算机理论之前应该就妥妥地建立了。
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d****g
发帖数: 7460 | 22 考点和大纲难道不是一一映射的东西？commoncore用同一的标准考核大家没错啊？省得
烂校得A的人还啥也不懂。
当然了，那个按步骤给分十分死板。可能把笨孩子教的更笨。
【在 S**********b 的大作中提到】
: 教学大纲是syllabus
: common core 是standards，呵呵
: syllabus是什么样子呢？
: 具体的教材、教学法、考试都是遵循一系列的教学哲学和纲法。
: 比如中国1984年的数学大纲大致，在小学先学算术，算术里面有个代数初步，为初中学
: 代数作准备。初中学代数和几何。小学算术里面可不是单单四则运算。小学算术里面包
: 括分数、小数、单位换算、简单的测量，诸如此类。这些训练都是为了将来的物理化学
: 作准备的。
: 你看看美国的common core 是什么呢？
: 是些考试基本点，哈哈
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t*******r
发帖数: 22634 | 23 俺查了一下：
Foundation of Mathematics 的 ZFC set theory 是在 192x 年办完的。
Foundation of geometry 的 Hilbert Axioms 是 189x 年办完的，
Birkhoff's axioms 是 193x 年办完的。
至于抽象，这个也看（1）要多严格，（2）如何表述。比如 von neummann
universe 的图示，实际上也不是太抽象。
当然，这个对小学四年级的娃，还有小有点难度的。。。俺那时就很恶狠狠地去掉了
空集合并限制，直接去掉 hierarchy，变得贼简单的 no-brainer 的空集队列图示
。。。lol。。。反正娃会成长，娃将来会意识到下一步的逻辑漏洞，将来可以再修改
。。。循序渐进 spiral 嘛。
【在 m**k 的大作中提到】
: 没那么早吧。。
: 何况那些和微积分比，都抽象好多了
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t*******r
发帖数: 22634 | 24 图好像看不见？attach 了。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 俺查了一下：
: Foundation of Mathematics 的 ZFC set theory 是在 192x 年办完的。
: Foundation of geometry 的 Hilbert Axioms 是 189x 年办完的，
: Birkhoff's axioms 是 193x 年办完的。
: 至于抽象，这个也看（1）要多严格，（2）如何表述。比如 von neummann
: universe 的图示，实际上也不是太抽象。
: 当然，这个对小学四年级的娃，还有小有点难度的。。。俺那时就很恶狠狠地去掉了
: 空集合并限制，直接去掉 hierarchy，变得贼简单的 no-brainer 的空集队列图示
: 。。。lol。。。反正娃会成长，娃将来会意识到下一步的逻辑漏洞，将来可以再修改
: 。。。循序渐进 spiral 嘛。
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d****g
发帖数: 7460 | 25 矮马，这才到４。
我来打酱油问个简单的。。你要是这都教，你教方程吗？早教是好处多，还是坏处多，
还是左右是雕虫小技根本无所谓？
【在 t*******r 的大作中提到】
: 图好像看不见？attach 了。
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t*******r
发帖数: 22634 | 26 美国是分权国家，国情和祖国不同。在美帝，联邦教育部，不能事无巨细都
管到州和地方，否则有人会去高院起哄违宪。
所以看美帝实践上在用的教纲，得从联邦一直看到学区，而且各个学区都不完全
一样。（或者完全不一样 lol）。
要说美帝这是一个傻叉的系统，的确是很傻叉。。。唯一的好处，大概就是能限制
错误决定的影响面。
【在 d****g 的大作中提到】
: 考点和大纲难道不是一一映射的东西？commoncore用同一的标准考核大家没错啊？省得
: 烂校得A的人还啥也不懂。
: 当然了，那个按步骤给分十分死板。可能把笨孩子教的更笨。
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t*******r
发帖数: 22634 | 27 俺觉得，对娃而言，方程的思想（代数的思想），其实比娃版集合论
思想更晚 ready。
因为很多娃版集合论思想是可以用算术表达的，即使是乘法分配率环这种。
俺个人觉得，算术 vs 代数，对娃思想 ready 上的最大区别，是
“严格意义的通例” vs “典型特例”。
我觉得俺家小学四年级的娃，给上几个典型特例，就自动默认为通例了。
因此这个阶段，我觉得娃方程还不 ready。。。不过学校在 spiral
地接触方程，目前娃貌似开始 ready 一些了。
【在 d****g 的大作中提到】
: 矮马，这才到４。
: 我来打酱油问个简单的。。你要是这都教，你教方程吗？早教是好处多，还是坏处多，
: 还是左右是雕虫小技根本无所谓？
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t*******r
发帖数: 22634 | 28 比如证明 (-2) * (-3) = +6，AOPS 的书上用代数方法证明
（俺没 AOPS 数，有人告诉俺的）。
但是如果给定特定的两个数，完全可以用算术证明，而且非常容易
图像化理解。（在图像证明/说明了非负数的乘法分配率之后）。
这个算术版证明其实很重要，否则娃老是 question 负数计算乘法
的符号规则。（俺家娃是 strong-willed，三年级曾经直接上课交
白卷说 I didn't get it! 虽然不是数学）。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 俺觉得，对娃而言，方程的思想（代数的思想），其实比娃版集合论
: 思想更晚 ready。
: 因为很多娃版集合论思想是可以用算术表达的，即使是乘法分配率环这种。
: 俺个人觉得，算术 vs 代数，对娃思想 ready 上的最大区别，是
: “严格意义的通例” vs “典型特例”。
: 我觉得俺家小学四年级的娃，给上几个典型特例，就自动默认为通例了。
: 因此这个阶段，我觉得娃方程还不 ready。。。不过学校在 spiral
: 地接触方程，目前娃貌似开始 ready 一些了。
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d****g
发帖数: 7460 | 29 多谢多谢。
俺们一年级未推娃算＂我是你的两倍，咋两加一起是１２＂这种题都靠凑。。２不行算
３，５不行算４。我是一心想教他代数得了。。。看来还是急不得。。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 俺觉得，对娃而言，方程的思想（代数的思想），其实比娃版集合论
: 思想更晚 ready。
: 因为很多娃版集合论思想是可以用算术表达的，即使是乘法分配率环这种。
: 俺个人觉得，算术 vs 代数，对娃思想 ready 上的最大区别，是
: “严格意义的通例” vs “典型特例”。
: 我觉得俺家小学四年级的娃，给上几个典型特例，就自动默认为通例了。
: 因此这个阶段，我觉得娃方程还不 ready。。。不过学校在 spiral
: 地接触方程，目前娃貌似开始 ready 一些了。
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t*******r
发帖数: 22634 | 30 另外一个例子是，三年级 place value 里，阿拉伯数字和英语
自然语言数字表达法的转换。
俺最后还就是用 piece value / place value （阿拉伯数字），
linguistic rule （自然语言英语数字）（其实是类似 coupon value，
不过娃不搞 deal，就不这么说了 lol）。从此娃就不再搞错，
也不来烦俺。。。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 比如证明 (-2) * (-3) = +6，AOPS 的书上用代数方法证明
: （俺没 AOPS 数，有人告诉俺的）。
: 但是如果给定特定的两个数，完全可以用算术证明，而且非常容易
: 图像化理解。（在图像证明/说明了非负数的乘法分配率之后）。
: 这个算术版证明其实很重要，否则娃老是 question 负数计算乘法
: 的符号规则。（俺家娃是 strong-willed，三年级曾经直接上课交
: 白卷说 I didn't get it! 虽然不是数学）。
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t*******r
发帖数: 22634 | 31 一年级。。。俺家娃一年级 guess and check 能糊弄就不错了。。。
俺家娃一年级数学在班上估计是落后的。。。
【在 d****g 的大作中提到】
: 多谢多谢。
: 俺们一年级未推娃算＂我是你的两倍，咋两加一起是１２＂这种题都靠凑。。２不行算
: ３，５不行算４。我是一心想教他代数得了。。。看来还是急不得。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 32 我觉得关键是，很多教育者，对小学娃版证明的严格性，要求太高了。
然后就走极端变成干脆放弃不去证明了。。。
其实俺的看法，娃版形象版证明，不过是 "bring the non-obvious
to the obvious, even the process is just a little tiny
whiny bit complex"。
从这个角度说，(-2) * (-3) = +6，这个正号，对娃就是
non-obvious（如果 obvious 娃也不会问或者犯错了）。
用乘法分配率，娃版算术版形象证明，是要费上一点时间，
也需要反复几次加强理解，但至少娃觉得 now it is
obvious (because we have no other choice)。
这个还是挺重要的，也有价值的，俺觉得。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 比如证明 (-2) * (-3) = +6，AOPS 的书上用代数方法证明
: （俺没 AOPS 数，有人告诉俺的）。
: 但是如果给定特定的两个数，完全可以用算术证明，而且非常容易
: 图像化理解。（在图像证明/说明了非负数的乘法分配率之后）。
: 这个算术版证明其实很重要，否则娃老是 question 负数计算乘法
: 的符号规则。（俺家娃是 strong-willed，三年级曾经直接上课交
: 白卷说 I didn't get it! 虽然不是数学）。
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d****g
发帖数: 7460 | 33 我去狗了下，所以这个＂负负得正＂是从分配率衍生出来的。
否则我完全可以定义＂负负得负＂，如（OR），但那样的话分配率就不成立了。。。
你娃真是叫真。。我当年都是当公理记住了。。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 比如证明 (-2) * (-3) = +6，AOPS 的书上用代数方法证明
: （俺没 AOPS 数，有人告诉俺的）。
: 但是如果给定特定的两个数，完全可以用算术证明，而且非常容易
: 图像化理解。（在图像证明/说明了非负数的乘法分配率之后）。
: 这个算术版证明其实很重要，否则娃老是 question 负数计算乘法
: 的符号规则。（俺家娃是 strong-willed，三年级曾经直接上课交
: 白卷说 I didn't get it! 虽然不是数学）。
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t*******r
发帖数: 22634 | 34 是的。。。其实就是从自然数扩展到负数，分配率要保持。。。
或者从另一个娃版角度理解，也可以认为是分配率定义了乘法。。。
俺自己把这个教学的理念，起个大名字叫 simulated history。。。
也就是说，虽然我们都知道数学史不是这样的，但 "let's say, let's
replay it (the history of developing theories), let's
create everything out of nothing, what would you do?"
【在 d****g 的大作中提到】
: 我去狗了下，所以这个＂负负得正＂是从分配率衍生出来的。
: 否则我完全可以定义＂负负得负＂，如（OR），但那样的话分配率就不成立了。。。
: 你娃真是叫真。。我当年都是当公理记住了。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 35 另外这个分配率不仅用来导出负数乘法，同时也可以导出分数的加法。
因为负数由加法定义，由分配率得出乘法运算规则。
而分数是由乘法定义，然后可以由分配率得出加法运算规则。
当然，分数加法本身比较直观就是了。
其实我觉得，小学娃版形象版抽象代数，是大杀器。。。这玩意儿
单个看起来是费力不讨好，但一旦整合出来，至少小学数学概念上，
就直接一了百了。。。当然概念不直接等于做题就是了，做题很多
时候要看天赋，那个归上帝管。。。
【在 d****g 的大作中提到】
: 我去狗了下，所以这个＂负负得正＂是从分配率衍生出来的。
: 否则我完全可以定义＂负负得负＂，如（OR），但那样的话分配率就不成立了。。。
: 你娃真是叫真。。我当年都是当公理记住了。。
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m**k
发帖数: 18660 | 36 意义不大。小学阶段甚至中学主要是直观数学。
每个律要证明。娃根本不。ready.
拿来用就行了。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 另外这个分配率不仅用来导出负数乘法，同时也可以导出分数的加法。
: 因为负数由加法定义，由分配率得出乘法运算规则。
: 而分数是由乘法定义，然后可以由分配率得出加法运算规则。
: 当然，分数加法本身比较直观就是了。
: 其实我觉得，小学娃版形象版抽象代数，是大杀器。。。这玩意儿
: 单个看起来是费力不讨好，但一旦整合出来，至少小学数学概念上，
: 就直接一了百了。。。当然概念不直接等于做题就是了，做题很多
: 时候要看天赋，那个归上帝管。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 37 抽象代数是直观数学，差别只是你如何 present it。
就像 Traditional Math 用 number line 来表示正数/负数/零点。
抽象代数集合论的一种形象表示（俺娃目前最喜欢的那种）：
a (weightless) “bottle” contains “balls” or “holes”。而 “等号”
就是一个 “balance scale”（天平秤）。
然后，算术就是 all about “transparent glass bottles”，代数就是
some crazy guy painted the bottle so you cannot see through
。。。
lol
【在 m**k 的大作中提到】
: 意义不大。小学阶段甚至中学主要是直观数学。
: 每个律要证明。娃根本不。ready.
: 拿来用就行了。
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S**********b
发帖数: 3142 | 38 Standards are the ends; and the syllabus (or curriculum) is the means.
【在 d****g 的大作中提到】
: 考点和大纲难道不是一一映射的东西？commoncore用同一的标准考核大家没错啊？省得
: 烂校得A的人还啥也不懂。
: 当然了，那个按步骤给分十分死板。可能把笨孩子教的更笨。
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t*******r
发帖数: 22634 | 39 美帝联邦宪法限制联邦教育部不能啥都管，所以 syllabus 就是归各地灵活
变通。。。
【在 S**********b 的大作中提到】
: Standards are the ends; and the syllabus (or curriculum) is the means.
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t*******r
发帖数: 22634 | 40 BTW: 这个玻璃瓶加球加（虚拟）洞，不是在啥书上看到的。是俺跟娃
interactive 讨论构成的。。。一个月前加上了天平和油漆。
我娃去图书馆借书，看到最接近的可能是黑白球，不过俺娃说她更喜欢
球和（虚拟）洞。。。另外图书馆的书也没有瓶子。。。
所以我觉得，教自家娃的课外趣味数学，也真不用啥教纲。。。多听听
娃怎么说，因材施教，灵活掌握，就行了。。。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 抽象代数是直观数学，差别只是你如何 present it。
: 就像 Traditional Math 用 number line 来表示正数/负数/零点。
: 抽象代数集合论的一种形象表示（俺娃目前最喜欢的那种）：
: a (weightless) “bottle” contains “balls” or “holes”。而 “等号”
: 就是一个 “balance scale”（天平秤）。
: 然后，算术就是 all about “transparent glass bottles”，代数就是
: some crazy guy painted the bottle so you cannot see through
: 。。。
: lol
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m**k
发帖数: 18660 | 41 zkss这个怎么代表集合论？
【在 t*******r 的大作中提到】
: 抽象代数是直观数学，差别只是你如何 present it。
: 就像 Traditional Math 用 number line 来表示正数/负数/零点。
: 抽象代数集合论的一种形象表示（俺娃目前最喜欢的那种）：
: a (weightless) “bottle” contains “balls” or “holes”。而 “等号”
: 就是一个 “balance scale”（天平秤）。
: 然后，算术就是 all about “transparent glass bottles”，代数就是
: some crazy guy painted the bottle so you cannot see through
: 。。。
: lol
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t*******r
发帖数: 22634 | 42 (weightless) bottle：集合的 "boundary"
one "ball"：+1
one "hole": -1 （负数区分是因为负数在自然数之后创建）
当 one "ball" met one "hole", they "vanish"。
（以上也可以 fraction ball/hole）
天平秤，两边同样重量，就 balanced。
painted bottle，看不见了，放上一个标签，标签上写上 a 。
【在 m**k 的大作中提到】
: zkss这个怎么代表集合论？
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s**********y
发帖数: 509 | 43 整数， 有理数 本身和加减乘除的操作都是有定义的。从这些定义都可以将对应的rule
推出来。 但向K-5介绍这个有点意思。
从鼓励兴趣的角度， 你好像必须说明为什么要介绍这些定义。why should I learn
this (understanding rules that negative times negative is positive)? 我倒是
很想听听你如何做的。
同样也可以question 为什么乘法必须满足分配率？
复数乘法满足分配率， 但是复数没有正负之分, 所以分配率不必然导致负负的正。
当然我们可以cancel 负的概念 （or order 的概念）。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 我觉得关键是，很多教育者，对小学娃版证明的严格性，要求太高了。
: 然后就走极端变成干脆放弃不去证明了。。。
: 其实俺的看法，娃版形象版证明，不过是 "bring the non-obvious
: to the obvious, even the process is just a little tiny
: whiny bit complex"。
: 从这个角度说，(-2) * (-3) = +6，这个正号，对娃就是
: non-obvious（如果 obvious 娃也不会问或者犯错了）。
: 用乘法分配率，娃版算术版形象证明，是要费上一点时间，
: 也需要反复几次加强理解，但至少娃觉得 now it is
: obvious (because we have no other choice)。
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t*******r
发帖数: 22634 | 44 这个可以直接用来证明负数乘法。
start with 一个空瓶子
come out 2 balls and 2 holes，放两小瓶子。
又跑出一歪瓶子，里面有 3 holes。
歪瓶子和（原先的）空瓶子做乘法，放天平秤左边。
右边一个空瓶子。
平衡。
天平秤左边上分配率，distribute in。
(-2)*(-3) + (2)*(-3) = 0
因为 (2)*(-3) = (-6)，这是 6 holes。
（这个其实也需要事先证明，不过俺发帖略去这步）。
天平不能歪。所以需要 6 balls 才能平衡。
所以 (-2)*(-3) = 6 balls = (6)
no other choice。收拾书包走人。
【在 t*******r 的大作中提到】
: (weightless) bottle：集合的 "boundary"
: one "ball"：+1
: one "hole": -1 （负数区分是因为负数在自然数之后创建）
: 当 one "ball" met one "hole", they "vanish"。
: （以上也可以 fraction ball/hole）
: 天平秤，两边同样重量，就 balanced。
: painted bottle，看不见了，放上一个标签，标签上写上 a 。
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s**********y
发帖数: 509 | 45 中国到了大学工科数学柯西审敛原则只证明必要性， 几乎不证明充分性。 倒是将拿来
用发挥的挺好。
【在 m**k 的大作中提到】
: 意义不大。小学阶段甚至中学主要是直观数学。
: 每个律要证明。娃根本不。ready.
: 拿来用就行了。
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s**********y
发帖数: 509 | 46 这个解释自然是好的。 只是其探索的成分在哪？学了这点以后又有何新的应用？我倒
是很想听听你的看法。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 这个可以直接用来证明负数乘法。
: start with 一个空瓶子
: come out 2 balls and 2 holes，放两小瓶子。
: 又跑出一歪瓶子，里面有 3 holes。
: 歪瓶子和（原先的）空瓶子做乘法，放天平秤左边。
: 右边一个空瓶子。
: 平衡。
: 天平秤左边上分配率，distribute in。
: (-2)*(-3) + (2)*(-3) = 0
: 因为 (2)*(-3) = (-6)，这是 6 holes。
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t*******r
发帖数: 22634 | 47 我觉得对于娃，根本没有 "Why should I learn this?"。娃只会问，
"Why we have to follow some many strange-and-must-take-for-granted
rules?"
"Why should I learn this?" 这个是大人强加给娃的看法，因为大人
已经刷题刷到 "take for granted" 的境界了。
另外这个是数学哲学问题，涉及到 choose simplistic theory (a theory
with minimal take-for-granted-rules)。
所以还得用分配率证明分数加法，不能因为分数加法比较形象，就略去那步。
关于乘法为啥要满足分配率。。。一个理解角度是你不必定义乘法，娃版而言，
加法加上分配率：3*2 => 3*(1+1) => 3*1 + 3*1 => 3 + 3 => 6
乘法就自动出来了。而分配率是更加 simplistic 的 rule。（因为分配率不
depends on / reply on 数字 notation 或者符号或者 bla bla bla，
娃不一定意识到这点，但是潜意识里会接受这点。表现为接受 a more simplistic
theory）。
这也对应于物理上的 best-fit model。
当然，娃需要时间慢慢理解消化。。。spiral。。。
rule
【在 s**********y 的大作中提到】
: 整数， 有理数 本身和加减乘除的操作都是有定义的。从这些定义都可以将对应的rule
: 推出来。 但向K-5介绍这个有点意思。
: 从鼓励兴趣的角度， 你好像必须说明为什么要介绍这些定义。why should I learn
: this (understanding rules that negative times negative is positive)? 我倒是
: 很想听听你如何做的。
: 同样也可以question 为什么乘法必须满足分配率？
: 复数乘法满足分配率， 但是复数没有正负之分, 所以分配率不必然导致负负的正。
: 当然我们可以cancel 负的概念 （or order 的概念）。
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t*******r
发帖数: 22634 | 48 探索的成分是在于，discuss what is best way for YOU to understand
and visualize the mathematics.
应用方面，首先是 a more simplistic number theory。
另外对于将来，我觉得实践中，大家不是数学家，老板等不及严格证明。。。
但是没根据就上马，老板担心项目爆掉不好交账（项目爆掉也得有屡败屡战的
借口是不是，除非不想干了。。。）所以非严格的形象证明的思想，在工程里
还是有用的。。。其实就是 level of confidence in math/science 。。。
【在 s**********y 的大作中提到】
: 这个解释自然是好的。 只是其探索的成分在哪？学了这点以后又有何新的应用？我倒
: 是很想听听你的看法。
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m**k
发帖数: 18660 | 49 这个瓶子和球。。是一般意义的集合嘛？
一般集合不是应该都是不同的objects么?
还是我理解力的问题。。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 这个可以直接用来证明负数乘法。
: start with 一个空瓶子
: come out 2 balls and 2 holes，放两小瓶子。
: 又跑出一歪瓶子，里面有 3 holes。
: 歪瓶子和（原先的）空瓶子做乘法，放天平秤左边。
: 右边一个空瓶子。
: 平衡。
: 天平秤左边上分配率，distribute in。
: (-2)*(-3) + (2)*(-3) = 0
: 因为 (2)*(-3) = (-6)，这是 6 holes。
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t*******r
发帖数: 22634 | 50 另外教娃版形象理论，一部分的目的是更快地站在巨人的肩膀上。
因为俺们的娃，不是五千年前的娃。
从某个角度说，这个的确会牺牲一点探索的过程。但是好处是更快
地站在巨人的肩膀上，所以能更快地 expose to more complex
problems（比如上次那种 combinatronics problem）。在处理
得当的情况下，我觉得利远远大于弊。。。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 探索的成分是在于，discuss what is best way for YOU to understand
: and visualize the mathematics.
: 应用方面，首先是 a more simplistic number theory。
: 另外对于将来，我觉得实践中，大家不是数学家，老板等不及严格证明。。。
: 但是没根据就上马，老板担心项目爆掉不好交账（项目爆掉也得有屡败屡战的
: 借口是不是，除非不想干了。。。）所以非严格的形象证明的思想，在工程里
: 还是有用的。。。其实就是 level of confidence in math/science 。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 51 集合的 “boundary” 是“瓶子”，“球”和“洞”是 primitive。
一个整数其实也可以看成是一个集合。当然你总是可以用 axiom of infinity。
但是实战中的形象表示，犯不着每次都用牛刀，如果可以牺牲一点严格性的话。
工程数学中，能解决问题是硬道理。严格性在工程数学里，是可以折中的东西。
【在 m**k 的大作中提到】
: 这个瓶子和球。。是一般意义的集合嘛？
: 一般集合不是应该都是不同的objects么?
: 还是我理解力的问题。。
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n***p
发帖数: 7668 | 52 像你，我觉得已经沉迷于逻辑里面太深了，走火入魔了。
任何理论都有个出发点，从公理体系而言，就是几个公理。但是，我认为，
还是应该本着“来源于生活，并且高于生活”的原则来给孩子们教数学。
生硬的从群环域的代数角度教孩子算术，没有必要，而且对于工程师也没有必要，
甚至对于很多数学家也没有必要。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 探索的成分是在于，discuss what is best way for YOU to understand
: and visualize the mathematics.
: 应用方面，首先是 a more simplistic number theory。
: 另外对于将来，我觉得实践中，大家不是数学家，老板等不及严格证明。。。
: 但是没根据就上马，老板担心项目爆掉不好交账（项目爆掉也得有屡败屡战的
: 借口是不是，除非不想干了。。。）所以非严格的形象证明的思想，在工程里
: 还是有用的。。。其实就是 level of confidence in math/science 。。。
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m**k
发帖数: 18660 | 53 一个球是一个object还是球的个数是object.我觉得对于解释来说差别很大啊。
如果球是object.那这个只是一个一般的container不是集合阿。。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 集合的 “boundary” 是“瓶子”，“球”和“洞”是 primitive。
: 一个整数其实也可以看成是一个集合。当然你总是可以用 axiom of infinity。
: 但是实战中的形象表示，犯不着每次都用牛刀，如果可以牺牲一点严格性的话。
: 工程数学中，能解决问题是硬道理。严格性在工程数学里，是可以折中的东西。
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t*******r
发帖数: 22634 | 54 BTW：这个“洞”不在瓶子上，这个 “hole” 是 an hypothetical object in
the space, which represents an “inversion” of a "ball"。
俺娃的确躺在沙发上问过这个，“How do you put a hole inside a bottle?”
。。。俺的回答，“This is the math world, and we are free to create any
object that we can image, as long as they make sense (logically
sound) and help us to solve the problems or visualize the theories.
Or, let's say, I am a magician. :-) ... So, just imagine I put 3 holes
inside this bottle.”
【在 t*******r 的大作中提到】
: 集合的 “boundary” 是“瓶子”，“球”和“洞”是 primitive。
: 一个整数其实也可以看成是一个集合。当然你总是可以用 axiom of infinity。
: 但是实战中的形象表示，犯不着每次都用牛刀，如果可以牺牲一点严格性的话。
: 工程数学中，能解决问题是硬道理。严格性在工程数学里，是可以折中的东西。
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m**k
发帖数: 18660 | 55 这个和用 债务 解释其实一个意思。。
【在 t*******r 的大作中提到】
: BTW：这个“洞”不在瓶子上，这个 “hole” 是 an hypothetical object in
: the space, which represents an “inversion” of a "ball"。
: 俺娃的确躺在沙发上问过这个，“How do you put a hole inside a bottle?”
: 。。。俺的回答，“This is the math world, and we are free to create any
: object that we can image, as long as they make sense (logically
: sound) and help us to solve the problems or visualize the theories.
: Or, let's say, I am a magician. :-) ... So, just imagine I put 3 holes
: inside this bottle.”
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t*******r
发帖数: 22634 | 56 因为球可以 represent anything，或者 an empty set。所以如果放弃
一点严格性，着重于数学图景的话，这要能解释，哪个是 object 无所谓。
或者从物理的角度说，每个娃心中的数学图景，其实就是一个对数学理论的
best-fit model。只要这个 model 帮助理解/记忆/解题，其他的无所谓。
所以每个娃的数学图景，都不太一样。
【在 m**k 的大作中提到】
: 一个球是一个object还是球的个数是object.我觉得对于解释来说差别很大啊。
: 如果球是object.那这个只是一个一般的container不是集合阿。。
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m**k
发帖数: 18660 | 57 关键。。。没看到这个解释里面用到集合论。。或者环阿什么的。。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 因为球可以 represent anything，或者 an empty set。所以如果放弃
: 一点严格性，着重于数学图景的话，这要能解释，哪个是 object 无所谓。
: 或者从物理的角度说，每个娃心中的数学图景，其实就是一个对数学理论的
: best-fit model。只要这个 model 帮助理解/记忆/解题，其他的无所谓。
: 所以每个娃的数学图景，都不太一样。
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t*******r
发帖数: 22634 | 58 从另一个角度观察事物（包括数学），其实也没有啥坏处。。。反正娃闲着
也是闲着，闲着胡思乱想别的更出问题，还不如想想环啥的，至少人畜无害
。。。lol
关于“有没有必要”，其实我们高中学的化学，对于大部分不搞化学生物的人
来说，也没啥必要。。。不过老实说这也不好说，如果某天万一有需要看一个
药名分子式，周围又没有别人，说不定就救了一命也不是不可能。。。
【在 n***p 的大作中提到】
: 像你，我觉得已经沉迷于逻辑里面太深了，走火入魔了。
: 任何理论都有个出发点，从公理体系而言，就是几个公理。但是，我认为，
: 还是应该本着“来源于生活，并且高于生活”的原则来给孩子们教数学。
: 生硬的从群环域的代数角度教孩子算术，没有必要，而且对于工程师也没有必要，
: 甚至对于很多数学家也没有必要。
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t*******r
发帖数: 22634 | 59 好吧，比集合论/环更高大上的是 model theory。。。
http://en.wikipedia.org/wiki/Model_theory
当然，娃版就可以狠简单狠直观就是了。。。
【在 m**k 的大作中提到】
: 关键。。。没看到这个解释里面用到集合论。。或者环阿什么的。。
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m**k
发帖数: 18660 | 60 那数手指头 画线条 也算model theroy
//run
【在 t*******r 的大作中提到】
: 好吧，比集合论/环更高大上的是 model theory。。。
: http://en.wikipedia.org/wiki/Model_theory
: 当然，娃版就可以狠简单狠直观就是了。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 61 债务不做负数乘法把。。。不过可能也行，但是从 best-fit model
来看，可能比较不够 simplistic。。。
当然，这也不一定。其实对于 individual 的 best-fit model，
除了 fit 被观察的事物，还 fit 观察者。对于经验主义的，或者
财迷（哈哈），可能是债务模型更 best fit。
所谓因材施教，可能也就是对不同的娃，采用不用的 best-fit model。
当然，俺娃估计是 logical / analytical kids。。。
【在 m**k 的大作中提到】
: 这个和用 债务 解释其实一个意思。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 62 属实，加上 “娃版” 两字即可。。。
【在 m**k 的大作中提到】
: 那数手指头 画线条 也算model theroy
: //run
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t*******r
发帖数: 22634 | 63 不过如果把正数负数四种排列的乘法的证明了，然后用 lego 的颜色代表正负，
lego 上有几个点代表绝对值，拼在一起，形象的看，的确是形成一个兜来兜去
的空间结构。至于是不是环，倒是不那么重要。
俺跟娃一起拚过那个玩。。。
【在 m**k 的大作中提到】
: 关键。。。没看到这个解释里面用到集合论。。或者环阿什么的。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 64 应该是两种（正负/负负），外加形象表示证明过程。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 不过如果把正数负数四种排列的乘法的证明了，然后用 lego 的颜色代表正负，
: lego 上有几个点代表绝对值，拼在一起，形象的看，的确是形成一个兜来兜去
: 的空间结构。至于是不是环，倒是不那么重要。
: 俺跟娃一起拚过那个玩。。。
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m**k
发帖数: 18660 | 65 哈哈。教具用的好!
【在 t*******r 的大作中提到】
: 应该是两种（正负/负负），外加形象表示证明过程。
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t*******r
发帖数: 22634 | 66 lego 扇子您好。。。 ^_^
【在 m**k 的大作中提到】
: 哈哈。教具用的好!
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t*******r
发帖数: 22634 | 67 复数为啥不能负负得正？只是复数里没有"负复数"的概念而已。如果把"负"理解为"求
负"（negation operator），复数一样负负得正。
rule
【在 s**********y 的大作中提到】
: 整数， 有理数 本身和加减乘除的操作都是有定义的。从这些定义都可以将对应的rule
: 推出来。 但向K-5介绍这个有点意思。
: 从鼓励兴趣的角度， 你好像必须说明为什么要介绍这些定义。why should I learn
: this (understanding rules that negative times negative is positive)? 我倒是
: 很想听听你如何做的。
: 同样也可以question 为什么乘法必须满足分配率？
: 复数乘法满足分配率， 但是复数没有正负之分, 所以分配率不必然导致负负的正。
: 当然我们可以cancel 负的概念 （or order 的概念）。
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t*******r
发帖数: 22634 | 68 俺回一下这个。。。现代数学的很多晦涩的群环域，的确是有点钻牛角尖。。。
但是基础的乘法分配率那些雅俗共赏的玩意儿，说实话真也不能算钻牛角尖。。。
俺这么说：
我觉得 Traditional Math 侧重于观察“事物实体”本身。而 foundation
of mathematics 探讨分配率之类的，俺觉得是试图通过观察“事物实体”，
来感知其背后的“时间空间”。。。俺觉得其实 structure 就是数学空间
（spatial），而 logic（逻辑）则是数学时间（temporal）。
【在 n***p 的大作中提到】
: 像你，我觉得已经沉迷于逻辑里面太深了，走火入魔了。
: 任何理论都有个出发点，从公理体系而言，就是几个公理。但是，我认为，
: 还是应该本着“来源于生活，并且高于生活”的原则来给孩子们教数学。
: 生硬的从群环域的代数角度教孩子算术，没有必要，而且对于工程师也没有必要，
: 甚至对于很多数学家也没有必要。
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t*******r
发帖数: 22634 | 69 或者这么说，我觉得你是站在 Traditional Math 的角度，看
foundation of modern mathematics。。。
俺理解 Traditional Math 认为公理是非常基本非常重要的东西。
而俺个人认为，modern mathematics 其实可以任意选公理
（当然要满足需要的条件）。我们目前选这个公理，不过是
对于我们现在的 science 来说，这是个 best-fit model
而已。。。个人认为，在 modern mathematics，更重要
的是 mathematics structure 和 mathematics logic
。。。所以俺个人认为，foundation of modern mathematics
其实更加图景化、更加生动，其实更适合趣味数学。。。
（当然，后来走火入魔钻牛角尖的部分，另说）。。。
【在 n***p 的大作中提到】
: 像你，我觉得已经沉迷于逻辑里面太深了，走火入魔了。
: 任何理论都有个出发点，从公理体系而言，就是几个公理。但是，我认为，
: 还是应该本着“来源于生活，并且高于生活”的原则来给孩子们教数学。
: 生硬的从群环域的代数角度教孩子算术，没有必要，而且对于工程师也没有必要，
: 甚至对于很多数学家也没有必要。
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t*******r
发帖数: 22634 | 70 马克兄，俺本着严肃认真的态度，更正一下上面的证明过程。
俺今天早上其实跟娃花了几分钟 review 了一下这个“负负得正”
（这个差不多一年前说的）。娃说忘了具体证明过程，然后俺快速
复述的时候，发现俺昨天贴方式不太好。具体来说：
（1）不要用瓶子和天平。那个是俺后来解释方程和代数用
的。证明负负得正不需要那些乱七八糟的东西。Simplistic is better。
而且东西越少，越适合在大脑中直接分析，不需要草稿纸。
（2）同上，不要用 2 个 ball，3 个 hole。object 数目
多了反而混乱。
（3）要完整证明 “正负得负” 和 “负负得正”。只证明
“负负得正” 反而会 confuse 娃。
（4）即使娃忘了具体证明过程，俺问过娃后来有没有犯符号
错误（粗心不算），娃说没有。。。俺认为娃版证明还是有用
的，即使是忘了，但是 subconscious may drive instinct。
我现在重写一下对娃比较易懂的证明：
0 是 empty/nothing
(+1) 是 ball
(-1) 是 hole
0 => (+1) + (-1)
0 * (+1) = 0
=> ((+1) + (-1)) * (+1) = 0
=> (+1)*(+1) + (-1)*(+1) = 0
=> (+1) + (-1)*(+1) = 0
so: (-1)*(+1) = (-1)
a "ball" multiply by a "hole" => a "hole"
0 => (+1) + (-1)
0 * (-1) = 0
=> ((+1) + (-1)) * (-1) = 0
=> (+1)*(-1) + (-1)*(-1) = 0
=> (-1) + (-1)*(-1) = 0
so: (-1)*(-1) = (+1)
a "hole" multiply by a "hole" => a "ball"
上面这段 text 看起来有点眼花缭乱，是因为 (+1) / (-1) / 0
许多符号乱麻。不过只要把那些形象看成 “球” “洞” 和 “啥玩意儿
都没有”，那符号数量就降低到大脑不用草稿就可以思考了。
另外俺观察发现，似乎娃更容易认可 “球” “洞” 之类的逻辑。。。
俺的猜测是，这是因为 “球” “洞” 之类的逻辑，其实是相对更加
“universal” 的 logic。。。看起来俺们下一代的娃，在被刷题
之前，潜意识里更容易接受 “universal” 的 logic，而不是
“specific” 的 logic (指 specific to certain notation
system)。
对于上面这个例子，“球” vs “洞”，其实是 negation 的 logic。
这里的 distributive 其实是 connect 了 negation 和 multiplication。
当然，在这个之前，先要形象娃版形象证明/说明自然数的 distributive
property / addition / negation。
【在 m**k 的大作中提到】
: 这个瓶子和球。。是一般意义的集合嘛？
: 一般集合不是应该都是不同的objects么?
: 还是我理解力的问题。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 71 俺突然又想到娃玩的那个 reversi game。黑子白子对翻。。。俺下次跟娃一起试试用
那个图景。。。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 马克兄，俺本着严肃认真的态度，更正一下上面的证明过程。
: 俺今天早上其实跟娃花了几分钟 review 了一下这个“负负得正”
: （这个差不多一年前说的）。娃说忘了具体证明过程，然后俺快速
: 复述的时候，发现俺昨天贴方式不太好。具体来说：
: （1）不要用瓶子和天平。那个是俺后来解释方程和代数用
: 的。证明负负得正不需要那些乱七八糟的东西。Simplistic is better。
: 而且东西越少，越适合在大脑中直接分析，不需要草稿纸。
: （2）同上，不要用 2 个 ball，3 个 hole。object 数目
: 多了反而混乱。
: （3）要完整证明 “正负得负” 和 “负负得正”。只证明
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D**********R
发帖数: 25234 | 72 生物高中学的是基因遗传环境生态那些，正是必要的科普基础啊。就指着那点知识消化
后半辈子读的科普文章呢。
我觉得中学应该加一个概率统计，比三角函数解析几何有用多了，看有些论坛里智硬群
众以讹传讹的一些观点，真让人着急。
基础教育在给顶尖人才打底的同时，也得考虑提高大众的科学素养。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 高中物理还是用到相对最多一点。化学生物，大部分人基本初中的就够用了。。。
: 娃版的抽象代数（其实是工程所用到的抽象代数基本概念，不是钻牛角尖的那些），印
: 象中是 1800 - 19xx 的东东？都在计算机理论之前应该就妥妥地建立了。
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t*******r
发帖数: 22634 | 73 志硬群众的问题是屁股决定脑袋。加概率统计有球用嘛？加“社会主义精神文明建设”
还差不多。。。
【在 D**********R 的大作中提到】
: 生物高中学的是基因遗传环境生态那些，正是必要的科普基础啊。就指着那点知识消化
: 后半辈子读的科普文章呢。
: 我觉得中学应该加一个概率统计，比三角函数解析几何有用多了，看有些论坛里智硬群
: 众以讹传讹的一些观点，真让人着急。
: 基础教育在给顶尖人才打底的同时，也得考虑提高大众的科学素养。
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m**k
发帖数: 18660 | 74 这还差不多。
这个就是最传统的用分配率来证明啊
【在 t*******r 的大作中提到】
: 马克兄，俺本着严肃认真的态度，更正一下上面的证明过程。
: 俺今天早上其实跟娃花了几分钟 review 了一下这个“负负得正”
: （这个差不多一年前说的）。娃说忘了具体证明过程，然后俺快速
: 复述的时候，发现俺昨天贴方式不太好。具体来说：
: （1）不要用瓶子和天平。那个是俺后来解释方程和代数用
: 的。证明负负得正不需要那些乱七八糟的东西。Simplistic is better。
: 而且东西越少，越适合在大脑中直接分析，不需要草稿纸。
: （2）同上，不要用 2 个 ball，3 个 hole。object 数目
: 多了反而混乱。
: （3）要完整证明 “正负得负” 和 “负负得正”。只证明
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m**k
发帖数: 18660 | 75 但是球和洞。。不觉得有必要。。
数学本来就是符号的抽象艺术
run
【在 t*******r 的大作中提到】
: 马克兄，俺本着严肃认真的态度，更正一下上面的证明过程。
: 俺今天早上其实跟娃花了几分钟 review 了一下这个“负负得正”
: （这个差不多一年前说的）。娃说忘了具体证明过程，然后俺快速
: 复述的时候，发现俺昨天贴方式不太好。具体来说：
: （1）不要用瓶子和天平。那个是俺后来解释方程和代数用
: 的。证明负负得正不需要那些乱七八糟的东西。Simplistic is better。
: 而且东西越少，越适合在大脑中直接分析，不需要草稿纸。
: （2）同上，不要用 2 个 ball，3 个 hole。object 数目
: 多了反而混乱。
: （3）要完整证明 “正负得负” 和 “负负得正”。只证明
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t*******r
发帖数: 22634 | 76 “球” 和 “洞” 是更抽象的符号哈哈哈。因为 “球” 和 “洞”
不依赖与语言和记数法，我们天顶星娃不懂地球鸟语都能直接
理解。
-- 天顶星幼儿园 toddler 班娃联名发来尿不湿贺电
【在 m**k 的大作中提到】
: 但是球和洞。。不觉得有必要。。
: 数学本来就是符号的抽象艺术
: run
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t*******r
发帖数: 22634 | 77 数学神辞典：
抽象：指抽出来，放在某个 topological space 里，看上去很像。
刷象：指抽不出来，只好一遍遍去刷题，油漆刷了N层，然后自认为很像。
// 我 run 了，请勿追杀。。。
【在 t*******r 的大作中提到】
: “球” 和 “洞” 是更抽象的符号哈哈哈。因为 “球” 和 “洞”
: 不依赖与语言和记数法，我们天顶星娃不懂地球鸟语都能直接
: 理解。
: -- 天顶星幼儿园 toddler 班娃联名发来尿不湿贺电
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m**k
发帖数: 18660 | 78 刷题。其实是对抽象的反复加深。
比如乘法的fact.
你可以每次都裸加。但是大部分人用脊髓都算出来了。
刷题也有刷题的作用。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 数学神辞典：
: 抽象：指抽出来，放在某个 topological space 里，看上去很像。
: 刷象：指抽不出来，只好一遍遍去刷题，油漆刷了N层，然后自认为很像。
: // 我 run 了，请勿追杀。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 79 俺为啥要裸加？modern mathematics 主要是电算用的，让计算机去裸。
其实现代计算机很多是硬件查表的，最多也是半裸。
而且分配率也不一定用来裸加。。。上周末在游泳池，俺跟娃一起算
25×25。。。俺说可以凑 100：25×4×(24/4)+25，俺娃说有更简单
直接的是 25×2×10+25×5。。。好像俺走了弯路，老了，脊髓不行了
。。。
【在 m**k 的大作中提到】
: 刷题。其实是对抽象的反复加深。
: 比如乘法的fact.
: 你可以每次都裸加。但是大部分人用脊髓都算出来了。
: 刷题也有刷题的作用。
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n***p
发帖数: 7668 | 80 查表：2x3=6, 所以25x25=625.
【在 t*******r 的大作中提到】
: 俺为啥要裸加？modern mathematics 主要是电算用的，让计算机去裸。
: 其实现代计算机很多是硬件查表的，最多也是半裸。
: 而且分配率也不一定用来裸加。。。上周末在游泳池，俺跟娃一起算
: 25×25。。。俺说可以凑 100：25×4×(24/4)+25，俺娃说有更简单
: 直接的是 25×2×10+25×5。。。好像俺走了弯路，老了，脊髓不行了
: 。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 81 矮马，这是 (20 + 5) * (30 - 5) ？
【在 n***p 的大作中提到】
: 查表：2x3=6, 所以25x25=625.
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n***p
发帖数: 7668 | 82 If b+c =10, then
(10a+b)(10a+c) = 100a^2 + 10a(b+c)+bc = 100a(a+1)+ bc.
【在 t*******r 的大作中提到】
: 矮马，这是 (20 + 5) * (30 - 5) ？
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m**k
发帖数: 18660 | 83 即使有车。人还是喜欢自己跑步不是。。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 俺为啥要裸加？modern mathematics 主要是电算用的，让计算机去裸。
: 其实现代计算机很多是硬件查表的，最多也是半裸。
: 而且分配率也不一定用来裸加。。。上周末在游泳池，俺跟娃一起算
: 25×25。。。俺说可以凑 100：25×4×(24/4)+25，俺娃说有更简单
: 直接的是 25×2×10+25×5。。。好像俺走了弯路，老了，脊髓不行了
: 。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 84 终于看懂了。。。天顶星人的脑子能同时处理 30+ 个符号。。。
【在 n***p 的大作中提到】
: If b+c =10, then
: (10a+b)(10a+c) = 100a^2 + 10a(b+c)+bc = 100a(a+1)+ bc.
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t*******r
发帖数: 22634 | 85 属实。。。不过这样的跑步是健身，只要别过犹不及。。。
当然，美帝的 new math 执行时，变成有汽车就再也不跑步的那种，的确是傻叉。
当然，俺们凤凰男现在在美帝这边有车了，也不用像当年拖拉机年代跑的那么苦逼。。
。留点时间学学修车，至少要会给轮胎打个气加个油啥的，另外别开出去找不着北。。。
【在 m**k 的大作中提到】
: 即使有车。人还是喜欢自己跑步不是。。
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d****g
发帖数: 7460 | 86 🐂 我光知道(n十五)的平方可以这么算
话说这小学就知道了.什么x11的简便算法也在此列.
我也认为刷题很重要
天下有科还有技.刷题是掌握公理后对具体问题的深入分析经验总结troubleshooting的
过程.
往往这个深入的习惯和能力比深入的课题重要
这个习惯可以刷题练可以象棋练可以体育练
然后凭运势可以用在写代码上矿工上金融上
太深可能影响大局，太浅可能不够深入.不好整
光看新闻难道张益唐不是深出来的吗？
【在 n***p 的大作中提到】
: If b+c =10, then
: (10a+b)(10a+c) = 100a^2 + 10a(b+c)+bc = 100a(a+1)+ bc.
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t*******r
发帖数: 22634 | 87 我觉得第一步不是深浅的问题，第一步是刷的目的问题。
比如：
刷“最强猪脑”的目的，是去综艺节目娱乐家庭主妇。
刷奥数的目的，是拿奥数金牌、进入藤校、刷数学试管。
刷象棋的目的，是戴上象棋大师的帽子，成为象棋指导员同志。
。。。 。。。
但如果不幸搞反了，也就不知道图的是啥。。。
【在 d****g 的大作中提到】
: 🐂 我光知道(n十五)的平方可以这么算
: 话说这小学就知道了.什么x11的简便算法也在此列.
: 我也认为刷题很重要
: 天下有科还有技.刷题是掌握公理后对具体问题的深入分析经验总结troubleshooting的
: 过程.
: 往往这个深入的习惯和能力比深入的课题重要
: 这个习惯可以刷题练可以象棋练可以体育练
: 然后凭运势可以用在写代码上矿工上金融上
: 太深可能影响大局，太浅可能不够深入.不好整
: 光看新闻难道张益唐不是深出来的吗？
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m**k
发帖数: 18660 | 88 这个球和洞其实是接近口头语言了
真的不依赖语言。其实是图形。
【在 t*******r 的大作中提到】
: “球” 和 “洞” 是更抽象的符号哈哈哈。因为 “球” 和 “洞”
: 不依赖与语言和记数法，我们天顶星娃不懂地球鸟语都能直接
: 理解。
: -- 天顶星幼儿园 toddler 班娃联名发来尿不湿贺电
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t*******r
发帖数: 22634 | 89 这次是我真没看懂。。。是不是拓扑图形不算图形的意思？
。。。只有线性方程解析几何图形才算图形？
【在 m**k 的大作中提到】
: 这个球和洞其实是接近口头语言了
: 真的不依赖语言。其实是图形。
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m**k
发帖数: 18660 | 90 潮水氏拓扑。。
玻璃瓶，和可以湮灭的球和洞。。。有点大材小用哦。。
【在 t*******r 的大作中提到】
: 这次是我真没看懂。。。是不是拓扑图形不算图形的意思？
: 。。。只有线性方程解析几何图形才算图形？
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r*g
发帖数: 3159 | 91 对于计算机，这样反而慢，因为条件判断b+c==10慢。
【在 n***p 的大作中提到】
: If b+c =10, then
: (10a+b)(10a+c) = 100a^2 + 10a(b+c)+bc = 100a(a+1)+ bc.
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d****g
发帖数: 7460 | 92 计算机里这种小技术小聪明也到处都有。比如乘二用移位.乘十用乘8⃣️&
#10133;乘2⃣️
【在 r*g 的大作中提到】
: 对于计算机，这样反而慢，因为条件判断b+c==10慢。
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t*******r
发帖数: 22634 | 93 这个小聪明现在大多归编译器电算了。。。
【在 d****g 的大作中提到】
: 计算机里这种小技术小聪明也到处都有。比如乘二用移位.乘十用乘8⃣️&
: #10133;乘2⃣️
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t*******r
发帖数: 22634 | 94 俺这说白了就是职业病。。。
不过球和洞，的确隐含了是实数。。。用虚拟的 particle / anti-particle，外加
particle 上有无数奇怪属性，可以描述任何东东，包括复数。。。或者更直接的 a
point w/ the attributes you just imagin。。。或者 high dimension arrow （不
过 arrow 只是矢量，矩阵 tensor 甚至离散属性还是会有麻烦）。。。不过俺娃不
ready for 这样的图景就是了。。。
【在 m**k 的大作中提到】
: 潮水氏拓扑。。
: 玻璃瓶，和可以湮灭的球和洞。。。有点大材小用哦。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 95 这个讨论不错，让俺看清了娃版数学教育的方向: 啥新数学，新新数学，都是过气的钻
牛角尖的东西。。。传统数学打底子，加上信息学及其所需要的数学基础作为趣味数学
，这事差不多就可以办妥了。。。 |
t*******r
发帖数: 22634 | 96 我在想，其实这个"抽象"，可能就是现代数学下放到中小学失败的根本原因之一。
我觉得中小学教育，以及工程教育，首先得 "下里巴人" （不是难度问题，而是不要用
一堆高高在上的所谓抽象符号抽象公理）。。。举个例子，计算机图论就比数学群论下
里巴人得多，实际上也有用得多。。。另一个例子，axiom of infinity 表达自然数的
思想，在计算机理论里用 YACC 或者 BNF 很容易用左递归文法定义类似的东东。左递
归树一画，傻子都能看懂。。。对于中小学普及教育，价格便宜量又足。。。
【在 m**k 的大作中提到】
: 但是球和洞。。不觉得有必要。。
: 数学本来就是符号的抽象艺术
: run
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t*******r
发帖数: 22634 | 97 刚才娃睡不着聊数学时，娃说出了真相，她现在计算负数时基本不用球和洞！数轴更嫌
麻烦，不用！俺那个证明她也嫌麻烦，记不住，她就这么凑: 比如要证明 (-2)*(-3)，
她就凑个 (-2)*3 加起来等于零。。。四年级娃的，思维方式变化很快好像。。。还是
顺其自然吧。。。
【在 m**k 的大作中提到】
: 潮水氏拓扑。。
: 玻璃瓶，和可以湮灭的球和洞。。。有点大材小用哦。。
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m**k
发帖数: 18660 | 98 大部分娃是记住 负负为正就当定理了。
好比 3 7 二十一不用裸加一样。
低等数学很多东西不去证明的。
是因为一直用没有错误。没有冲突就可以了。
你家的高智商娃除外啊。哈
【在 t*******r 的大作中提到】
: 刚才娃睡不着聊数学时，娃说出了真相，她现在计算负数时基本不用球和洞！数轴更嫌
: 麻烦，不用！俺那个证明她也嫌麻烦，记不住，她就这么凑: 比如要证明 (-2)*(-3)，
: 她就凑个 (-2)*3 加起来等于零。。。四年级娃的，思维方式变化很快好像。。。还是
: 顺其自然吧。。。
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t*******r
发帖数: 22634 | 99 俺觉得俺娃是吃到第八个烧饼时，把前面七个都忘了的那种。lol
俺觉得娃现在是在归纳规则的阶段。
其实在四年级开始时，俺教娃娃版形象版 math foundation，
还是比较有效的。
另外俺同意你说的 “没有错误，没有冲突” 就可以了。这个
“负负得正”也正是这样。需要解释的就是 “负负得正” 不会
有冲突，而 “负负得负” 就会跟 “分配率” 和 “正数负数
互为镜像” 外加 “正数乘以正数得正数” 相冲突。而
“分配率” 比 “负负得正” 更 obvious。（比如一个 3 行 5 列的 array，一刀竖
切成两个 array，不管咋切，两个 array 都是 3 行不会错。）。所以 less-obvious
从 more-obvious 导出就可以避免冲突了。
【在 m**k 的大作中提到】
: 大部分娃是记住 负负为正就当定理了。
: 好比 3 7 二十一不用裸加一样。
: 低等数学很多东西不去证明的。
: 是因为一直用没有错误。没有冲突就可以了。
: 你家的高智商娃除外啊。哈
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