t******l 发帖数: 10908 | 1 俺教绝对值方程,是把绝对值函数进行分段函数展开而替换,然后按部就班,
这么也能解出 AMC 10B problem 13,我觉得概念上也是证明不是?(我们
当年是不是就是这么教的?)
http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2010_AMC_10B_
但我开始想偷懒少教,让娃自学,所以我今天就去看了看 Khan Academy 在
Algebra I 的教法。但我看了半天,觉得 Khan Academy 虽然这么表述简单
而直接,但如果依那个葫芦画瓢去解 AMC 10B problem 13,好像跨度有点大
不是?(如果题目改改,再少一个根,这跨度更大点)。
http://www.khanacademy.org/math/algebra/solving-linear-equation
然后我看了看 AMC 10 的标准解法,分情况讨论求解确实有板有眼,但没说明
为啥这么分情况讨论。
大伙儿讨论一下到底哪种教法更快糙猛?优缺点到底如何?另外还有其他啥
可供娃自学的网络资源可以分享的?谢谢先。 |
t******l 发帖数: 10908 | 2 说明一下不是针对这一道题过不去,而是一般性的对教娃角度、以及对网络资源
的讨论。具体的题目就是作为一个实战例子(所以也没拿钻牛角尖难题)。 |
l*****8 发帖数: 16949 | |
w********9 发帖数: 8613 | 4 这类题目都是死板的题目。特别强调逃不掉的那个关键点就行了:拆开绝对值只有两种
可能。(因此造成了分段。)
key point
key point |
t******l 发帖数: 10908 | 5 AMC10 的解法是标准的,但写得有点 ELA 化我觉得。
当然我也不知道是 (1) ELA 型分情况讨论解释,(2) 还是代数符号系统的好比 piece-
wise linear 概念的一步一步 substitution 的解释,外加解析几何坐标系建模直观化
;哪个对娃更容易理解一些。
这个解释的 ELA 化,在 AMC 8 / 10 里面还是有一定普遍性的,拿出来讨论一下。
【在 l*****8 的大作中提到】 : 视频没看,AMC10的解法难道不是标准的吗?
|
l*****8 发帖数: 16949 | 6 嗯,写得有点太繁了,估计怕有人看不懂。其实就是一层层的去掉绝对值的符号,去绝
对值的时候几种情况自然就出来了。
piece-
【在 t******l 的大作中提到】 : AMC10 的解法是标准的,但写得有点 ELA 化我觉得。 : 当然我也不知道是 (1) ELA 型分情况讨论解释,(2) 还是代数符号系统的好比 piece- : wise linear 概念的一步一步 substitution 的解释,外加解析几何坐标系建模直观化 : ;哪个对娃更容易理解一些。 : 这个解释的 ELA 化,在 AMC 8 / 10 里面还是有一定普遍性的,拿出来讨论一下。
|
t******l 发帖数: 10908 | 7 看来你的想法跟我差不多。大名词的说法,一层一层由内向外 substitute 成 piece-
wise linear / segmented function,更清晰和容易掌握,我个人觉得。
【在 l*****8 的大作中提到】 : 嗯,写得有点太繁了,估计怕有人看不懂。其实就是一层层的去掉绝对值的符号,去绝 : 对值的时候几种情况自然就出来了。 : : piece-
|
a*****g 发帖数: 19398 | 8 前几天做过,就是层层去掉绝对值。一个绝对值分解成两个方程式。
后来发现做错了(当年是不可能错拉)
其中一个方程式是 类似于 y=|2y+6| 之类的。
我就光记得分成两个了,忘记了隐含条件是 y >=0, 需要把结果拿回来再看看。
观化
【在 l*****8 的大作中提到】 : 嗯,写得有点太繁了,估计怕有人看不懂。其实就是一层层的去掉绝对值的符号,去绝 : 对值的时候几种情况自然就出来了。 : : piece-
|
d**********h 发帖数: 2795 | 9 一个题就把所以概念复习一遍
所谓事半功倍
省了再去找题的时间
piece-
【在 t******l 的大作中提到】 : AMC10 的解法是标准的,但写得有点 ELA 化我觉得。 : 当然我也不知道是 (1) ELA 型分情况讨论解释,(2) 还是代数符号系统的好比 piece- : wise linear 概念的一步一步 substitution 的解释,外加解析几何坐标系建模直观化 : ;哪个对娃更容易理解一些。 : 这个解释的 ELA 化,在 AMC 8 / 10 里面还是有一定普遍性的,拿出来讨论一下。
|
t******l 发帖数: 10908 | 10 另外 Khan Academic 的 video,我不知道是不是容易建立从内向外拆的概念 ( 其本质
是 order-of-operation 造成的 )。
我拿这个做例子,主要是想知道 (1) procedure-driven vs (2) explanation-driven
vs (3) modelling-for-problem_solving-driven 三种教学办法的差别和适用度。(我
生造了三个名词,就是个意思)。
【在 l*****8 的大作中提到】 : 嗯,写得有点太繁了,估计怕有人看不懂。其实就是一层层的去掉绝对值的符号,去绝 : 对值的时候几种情况自然就出来了。 : : piece-
|
|
|
t******l 发帖数: 10908 | 11 如果按标准代数 piece-wise linear 进行 substitution,那么 |2y+6| 这个
expression 被 substitute 成如下的 piece-wise function:
(2y+6), y ≧ -3
-(2y+6), y < -3
把上面 piece-wise expression/function 搞进原方程成为 piece-wise equation,这
样就不会出错。
还可以用解析几何坐标系画一下,当然考试时省时间就不必了。
【在 a*****g 的大作中提到】 : 前几天做过,就是层层去掉绝对值。一个绝对值分解成两个方程式。 : 后来发现做错了(当年是不可能错拉) : 其中一个方程式是 类似于 y=|2y+6| 之类的。 : 我就光记得分成两个了,忘记了隐含条件是 y >=0, 需要把结果拿回来再看看。 : : 观化
|
r*g 发帖数: 3159 | 12 现代化方法,就是打开wolframalpha.com,
输入 Plot y = |2x-|60-2x|| and y=x, 它给你画出图来, 三个交点,怎么分段一目
了然。
【在 t******l 的大作中提到】 : 俺教绝对值方程,是把绝对值函数进行分段函数展开而替换,然后按部就班, : 这么也能解出 AMC 10B problem 13,我觉得概念上也是证明不是?(我们 : 当年是不是就是这么教的?) : http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2010_AMC_10B_ : 但我开始想偷懒少教,让娃自学,所以我今天就去看了看 Khan Academy 在 : Algebra I 的教法。但我看了半天,觉得 Khan Academy 虽然这么表述简单 : 而直接,但如果依那个葫芦画瓢去解 AMC 10B problem 13,好像跨度有点大 : 不是?(如果题目改改,再少一个根,这跨度更大点)。 : http://www.khanacademy.org/math/algebra/solving-linear-equation : 然后我看了看 AMC 10 的标准解法,分情况讨论求解确实有板有眼,但没说明
|
t******l 发帖数: 10908 | 13 gnuplot 也行
【在 r*g 的大作中提到】 : 现代化方法,就是打开wolframalpha.com, : 输入 Plot y = |2x-|60-2x|| and y=x, 它给你画出图来, 三个交点,怎么分段一目 : 了然。
|
t******l 发帖数: 10908 | 14 另外谢谢建议。
【在 r*g 的大作中提到】 : 现代化方法,就是打开wolframalpha.com, : 输入 Plot y = |2x-|60-2x|| and y=x, 它给你画出图来, 三个交点,怎么分段一目 : 了然。
|
Y********d 发帖数: 1478 | 15 十天的挂念和反思,一整晚的不解和难过,一早上的失而复得的惊喜。
回来就好。其实发现,我对你的态度转变就是从你上次批小马甲开始的。
小马甲就是好啊,就是好。啥时候,我那几个姐姐也批个小马甲回来就好了。
【在 t******l 的大作中提到】 : 俺教绝对值方程,是把绝对值函数进行分段函数展开而替换,然后按部就班, : 这么也能解出 AMC 10B problem 13,我觉得概念上也是证明不是?(我们 : 当年是不是就是这么教的?) : http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2010_AMC_10B_ : 但我开始想偷懒少教,让娃自学,所以我今天就去看了看 Khan Academy 在 : Algebra I 的教法。但我看了半天,觉得 Khan Academy 虽然这么表述简单 : 而直接,但如果依那个葫芦画瓢去解 AMC 10B problem 13,好像跨度有点大 : 不是?(如果题目改改,再少一个根,这跨度更大点)。 : http://www.khanacademy.org/math/algebra/solving-linear-equation : 然后我看了看 AMC 10 的标准解法,分情况讨论求解确实有板有眼,但没说明
|
d**********h 发帖数: 2795 | 16 我觉得,本质上这些方法是一样的
练习的时候,都让孩子学习,真的是为了通过一个题来反复阐述辨析概念。知识有趣的
一个地方就是:一个老旧的东西突然就会有新花样,新体会。数学尤其如此。基本概念
经常有意想不到的的推论。
有天和娃聊起来等号,这么简单常见的一个符号,你说在数学里意味着多少事情。。
至于考试题,就让孩子挑一个最顺手的。有的对几何直观敏感,有的对纯粹代数推导敏
感,有的甚至对先猜后验证拿手
各随各的吧
【在 t******l 的大作中提到】 : 俺教绝对值方程,是把绝对值函数进行分段函数展开而替换,然后按部就班, : 这么也能解出 AMC 10B problem 13,我觉得概念上也是证明不是?(我们 : 当年是不是就是这么教的?) : http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2010_AMC_10B_ : 但我开始想偷懒少教,让娃自学,所以我今天就去看了看 Khan Academy 在 : Algebra I 的教法。但我看了半天,觉得 Khan Academy 虽然这么表述简单 : 而直接,但如果依那个葫芦画瓢去解 AMC 10B problem 13,好像跨度有点大 : 不是?(如果题目改改,再少一个根,这跨度更大点)。 : http://www.khanacademy.org/math/algebra/solving-linear-equation : 然后我看了看 AMC 10 的标准解法,分情况讨论求解确实有板有眼,但没说明
|
t******l 发帖数: 10908 | 17 我其实就是有个问题上来听听不同人的意见和想法。
【在 Y********d 的大作中提到】 : 十天的挂念和反思,一整晚的不解和难过,一早上的失而复得的惊喜。 : 回来就好。其实发现,我对你的态度转变就是从你上次批小马甲开始的。 : 小马甲就是好啊,就是好。啥时候,我那几个姐姐也批个小马甲回来就好了。
|
Y********d 发帖数: 1478 | 18 这不本来就应该是这个版的功能所在吗?
【在 t******l 的大作中提到】 : 我其实就是有个问题上来听听不同人的意见和想法。
|
t******l 发帖数: 10908 | 19 这么说也有道理。
但另一方面,中学代数的精髓,还是更在于其简洁较少二义的符号规约系统、和清晰的
解析几何建模/表述。这样超越 prealgebra 的 ELA 型图景。
我老总有一种美国这边在 prealgebra 阶段纠缠太久的担心,以及在 algebra 教学里
伪装着 prealgebra/arithmetic 思维定势的担心。
【在 d**********h 的大作中提到】 : 我觉得,本质上这些方法是一样的 : 练习的时候,都让孩子学习,真的是为了通过一个题来反复阐述辨析概念。知识有趣的 : 一个地方就是:一个老旧的东西突然就会有新花样,新体会。数学尤其如此。基本概念 : 经常有意想不到的的推论。 : 有天和娃聊起来等号,这么简单常见的一个符号,你说在数学里意味着多少事情。。 : 至于考试题,就让孩子挑一个最顺手的。有的对几何直观敏感,有的对纯粹代数推导敏 : 感,有的甚至对先猜后验证拿手 : 各随各的吧
|
d**********h 发帖数: 2795 | 20 我越来越觉得美帝publicschool教育靠不住
您要是有点个人想法,就别顾及学校了
真的考虑另起炉灶,比如家里补课,或者上点别的课外班
这个不只是数学,而是一切您在乎的课程,包括写作,体育,艺术。。。
【在 t******l 的大作中提到】 : 这么说也有道理。 : 但另一方面,中学代数的精髓,还是更在于其简洁较少二义的符号规约系统、和清晰的 : 解析几何建模/表述。这样超越 prealgebra 的 ELA 型图景。 : 我老总有一种美国这边在 prealgebra 阶段纠缠太久的担心,以及在 algebra 教学里 : 伪装着 prealgebra/arithmetic 思维定势的担心。
|
|
|
s**y 发帖数: 151 | 21 x = |2x - |60 - 2x|| =>
(1) x^2 = (2x + (60 - 2x))^2; and (2) x^2 = (2x - (60 - 2x))^2
(1) => x^2 = 60^2 => x=60 and x= -60
(2) => x^2 = (4x - 60)^2 => x = 12 and x = 20
x=-6 is ignored because it must be x>=0
so x= 60, 12, 20. |
x***1 发帖数: 999 | 22 我也班门弄斧:
x=+-(2x+-(60-2x)):
x=2x+60-2x=60,
x=2x-60+2x, x=20,
x=-2x+60-2x, x=12,
x=-2x-60+2x=-60, 也得check.
【在 s**y 的大作中提到】 : x = |2x - |60 - 2x|| => : (1) x^2 = (2x + (60 - 2x))^2; and (2) x^2 = (2x - (60 - 2x))^2 : (1) => x^2 = 60^2 => x=60 and x= -60 : (2) => x^2 = (4x - 60)^2 => x = 12 and x = 20 : x=-6 is ignored because it must be x>=0 : so x= 60, 12, 20.
|
w********9 发帖数: 8613 | 23
这个其实更复杂。由于取了平方,最后必须做4个验证取解。
【在 s**y 的大作中提到】 : x = |2x - |60 - 2x|| => : (1) x^2 = (2x + (60 - 2x))^2; and (2) x^2 = (2x - (60 - 2x))^2 : (1) => x^2 = 60^2 => x=60 and x= -60 : (2) => x^2 = (4x - 60)^2 => x = 12 and x = 20 : x=-6 is ignored because it must be x>=0 : so x= 60, 12, 20.
|
w********9 发帖数: 8613 | 24
这样做,在几处有数学叙述比较马虎的问题。
【在 x***1 的大作中提到】 : 我也班门弄斧: : x=+-(2x+-(60-2x)): : x=2x+60-2x=60, : x=2x-60+2x, x=20, : x=-2x+60-2x, x=12, : x=-2x-60+2x=-60, 也得check.
|
d**********h 发帖数: 2795 | 25 是不是所有根都要check,还是和解法有关
我记得ls的平方法的根最后要check去掉增根
这个直接展开法好像不需要再带回去了吧?
还是我记错了。。。
另外,绝对值方程有没有简单办法判定根的个数(包括重根)
【在 x***1 的大作中提到】 : 我也班门弄斧: : x=+-(2x+-(60-2x)): : x=2x+60-2x=60, : x=2x-60+2x, x=20, : x=-2x+60-2x, x=12, : x=-2x-60+2x=-60, 也得check.
|
x***1 发帖数: 999 | 26 就是在去掉绝对值符号时加上正副号,然后组合,这个有两个绝对值,有四种结果, 但
其中一种不符合要求。
【在 w********9 的大作中提到】 : : 这样做,在几处有数学叙述比较马虎的问题。
|
x***1 发帖数: 999 | 27 我觉得每个根都要check,因为不知道那个根错的那个对的。
这个直接展开,就是省略了分段讨论时的麻烦,但会有多余的解,但不会漏掉任何一个
解。
不知道有没有简单判定根的方法。
【在 d**********h 的大作中提到】 : 是不是所有根都要check,还是和解法有关 : 我记得ls的平方法的根最后要check去掉增根 : 这个直接展开法好像不需要再带回去了吧? : 还是我记错了。。。 : 另外,绝对值方程有没有简单办法判定根的个数(包括重根)
|
t******l 发帖数: 10908 | 28 去绝对值加正负号的时候,x 要加上 range 限制 (自动形成分段),否则推导过程不等
价。
从解析几何表达看,如果不加 x range 限制,实际上形成两条直线而不是两条射线,
导致不等价。
【在 x***1 的大作中提到】 : 就是在去掉绝对值符号时加上正副号,然后组合,这个有两个绝对值,有四种结果, 但 : 其中一种不符合要求。
|
d**********h 发帖数: 2795 | 29 对头,这就是我前面提到的:去绝对值加正负号不产生增根,前提条件是加上不等式检
查(也就是range限制)
你比我说的清楚
【在 t******l 的大作中提到】 : 去绝对值加正负号的时候,x 要加上 range 限制 (自动形成分段),否则推导过程不等 : 价。 : 从解析几何表达看,如果不加 x range 限制,实际上形成两条直线而不是两条射线, : 导致不等价。
|
w********9 发帖数: 8613 | 30
我明白你的意思,但是必须说“可能有以下四种结果”。我觉得这样有些马虎。跟去平
方一样,扩大了寻解的范围,必须回到原方程验证。
AoPS的Richard在解题时喜欢写得非常细致。按基本写法做是可以写成下面那样简洁的
。验证很直接。
x = |2x - |60-2x||
Obviously x>=0.
Case 1. when 60-2x <=0, or x >=30,
x= |2x-[-(60-2x)]|=60 >0.
Case 2. when 60-2x>0, or x <30,
x= |2x-(60-2x)|=|4x-60|
sub-case 2.1 when 4x-60<=0, or x<=15,
x= -(4x-60), or 5x =60, x =12<=15 and >=0.
sub-case 2.2 when 4x-60>0, or x >15,
x=4x-60, or 3x =60, x =20>15>0.
So, x=15, 20, or 60. Their sum is 92.
【在 x***1 的大作中提到】 : 就是在去掉绝对值符号时加上正副号,然后组合,这个有两个绝对值,有四种结果, 但 : 其中一种不符合要求。
|
|
|
r*g 发帖数: 3159 | 31 老实讲我不太明白为什么这个要单独教。这么教要学的细节也太多了。就如刷漆的也不
用每种颜色都要学一遍吧。
【在 t******l 的大作中提到】 : 俺教绝对值方程,是把绝对值函数进行分段函数展开而替换,然后按部就班, : 这么也能解出 AMC 10B problem 13,我觉得概念上也是证明不是?(我们 : 当年是不是就是这么教的?) : http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2010_AMC_10B_ : 但我开始想偷懒少教,让娃自学,所以我今天就去看了看 Khan Academy 在 : Algebra I 的教法。但我看了半天,觉得 Khan Academy 虽然这么表述简单 : 而直接,但如果依那个葫芦画瓢去解 AMC 10B problem 13,好像跨度有点大 : 不是?(如果题目改改,再少一个根,这跨度更大点)。 : http://www.khanacademy.org/math/algebra/solving-linear-equation : 然后我看了看 AMC 10 的标准解法,分情况讨论求解确实有板有眼,但没说明
|
h****1 发帖数: 76 | 32 可以图像解法吗?非常直观。
用geogebra作图,一条是y=|2x-|60-2x|| 另一条是y=x
有三个交点 |
t******l 发帖数: 10908 | 33 我昨天试了 plotting tool (gnuplot),效果不如以前手工 plot 好,我觉得是机器跟
人相似性太差,在基本概念入门的时候,还是老师/家长手工 plotting 更好些。
【在 h****1 的大作中提到】 : 可以图像解法吗?非常直观。 : 用geogebra作图,一条是y=|2x-|60-2x|| 另一条是y=x : 有三个交点
|
t******l 发帖数: 10908 | 34 绝对值方程其实第一次遇到分段函数展开。
将来 calculus / numerical analysis 都会遇上分段函数拼凑的问题,还不一定是线
性。
也算是基本概念层次的东西。
【在 r*g 的大作中提到】 : 老实讲我不太明白为什么这个要单独教。这么教要学的细节也太多了。就如刷漆的也不 : 用每种颜色都要学一遍吧。
|
t******l 发帖数: 10908 | 35 我最近衡量了一下,我不考虑另起炉灶,主要原因还是我家娃的天资有限,跟学校大众
平均差距没那么大,不值得另起炉灶。
但我觉得学校的缺点是,就拿 prealgebra 做例子,学校的 target 都是一个个 short
range target 承起转和,因为要保证娃能很快理解和运用解题到熟练,这样才能标准
化测试考试跟踪进度,以及衡量和约束教师。
但这个 short range target 不断转向不断折腾的策略,我觉得也可能也是导致高中代
数有一批下滑或者吃力努力 “解题基本靠背诵” 才能跟上的原因之一。
所以我觉得我自家,就在概念层次上,搞些一步到位的 end of day 的 long range
target 的各种概念。不求能实际拿来解题,但求概念上能起指导作用。这样就有了指
南针和舵手,不会被学校 short range target 承起转和的策略搞晕,尽可能保证将来
高中数学不会下滑。
【在 d**********h 的大作中提到】 : 我越来越觉得美帝publicschool教育靠不住 : 您要是有点个人想法,就别顾及学校了 : 真的考虑另起炉灶,比如家里补课,或者上点别的课外班 : 这个不只是数学,而是一切您在乎的课程,包括写作,体育,艺术。。。
|
t******l 发帖数: 10908 | 36 这个写得简洁明了。实质就是绝对值的分段函数 substitution 这个 formal
operation 的具体实践,只是这里的 formal operation 把一个方程拆成两个“区段内
有效”的方程。
其实我给娃写就直接写出 piece-wise linear 和 algebraic substitution 的写法,
反正自家不受学校书写格式的限制。
另外第一个 obvious x>0 不是必须。更明了的写法是写在 case 1 和 2 的第二步绝对
值展开里,虽然比较 trivial。
【在 w********9 的大作中提到】 : : 我明白你的意思,但是必须说“可能有以下四种结果”。我觉得这样有些马虎。跟去平 : 方一样,扩大了寻解的范围,必须回到原方程验证。 : AoPS的Richard在解题时喜欢写得非常细致。按基本写法做是可以写成下面那样简洁的 : 。验证很直接。 : x = |2x - |60-2x|| : Obviously x>=0. : Case 1. when 60-2x <=0, or x >=30, : x= |2x-[-(60-2x)]|=60 >0. : Case 2. when 60-2x>0, or x <30,
|
d**********h 发帖数: 2795 | 37 这个long range target 很有启发意义
我也要好好想想。。。
short
【在 t******l 的大作中提到】 : 我最近衡量了一下,我不考虑另起炉灶,主要原因还是我家娃的天资有限,跟学校大众 : 平均差距没那么大,不值得另起炉灶。 : 但我觉得学校的缺点是,就拿 prealgebra 做例子,学校的 target 都是一个个 short : range target 承起转和,因为要保证娃能很快理解和运用解题到熟练,这样才能标准 : 化测试考试跟踪进度,以及衡量和约束教师。 : 但这个 short range target 不断转向不断折腾的策略,我觉得也可能也是导致高中代 : 数有一批下滑或者吃力努力 “解题基本靠背诵” 才能跟上的原因之一。 : 所以我觉得我自家,就在概念层次上,搞些一步到位的 end of day 的 long range : target 的各种概念。不求能实际拿来解题,但求概念上能起指导作用。这样就有了指 : 南针和舵手,不会被学校 short range target 承起转和的策略搞晕,尽可能保证将来
|
d**********h 发帖数: 2795 | 38 x>=0是必须的吧,因为 x 等于一个绝对值
而且这个不是只在第一步,而是所有步(case)里都需要的
【在 t******l 的大作中提到】 : 这个写得简洁明了。实质就是绝对值的分段函数 substitution 这个 formal : operation 的具体实践,只是这里的 formal operation 把一个方程拆成两个“区段内 : 有效”的方程。 : 其实我给娃写就直接写出 piece-wise linear 和 algebraic substitution 的写法, : 反正自家不受学校书写格式的限制。 : 另外第一个 obvious x>0 不是必须。更明了的写法是写在 case 1 和 2 的第二步绝对 : 值展开里,虽然比较 trivial。
|
x***1 发帖数: 999 | 39 我觉得做类似的题,首先十有八九得画图,用手画,不要借助于电脑。
如果画图很费事,比如绝对值里出现平方甚至立方项,如果分段,解不等式比解等式更
难,时间有限,立马得用绝对值的定义去解,也就是笨办法,看有多少组合。
如果还不行,就得用其他办法,比如楼上的平方啥的。
【在 t******l 的大作中提到】 : 这个写得简洁明了。实质就是绝对值的分段函数 substitution 这个 formal : operation 的具体实践,只是这里的 formal operation 把一个方程拆成两个“区段内 : 有效”的方程。 : 其实我给娃写就直接写出 piece-wise linear 和 algebraic substitution 的写法, : 反正自家不受学校书写格式的限制。 : 另外第一个 obvious x>0 不是必须。更明了的写法是写在 case 1 和 2 的第二步绝对 : 值展开里,虽然比较 trivial。
|
h****1 发帖数: 76 | |
|
|
t******l 发帖数: 10908 | 41 不是必须,把绝对值做分段函数展开时,自动满足该绝对值大于零。
当然有时候可以加速解题用。
【在 d**********h 的大作中提到】 : x>=0是必须的吧,因为 x 等于一个绝对值 : 而且这个不是只在第一步,而是所有步(case)里都需要的
|
t******l 发帖数: 10908 | 42 如果目的仅仅是求根而不是画整个函数,那不一定要解不等式,理论上就是把
|f(x)| 这个表达式给 algebraic substitute 成两个带条件的表达式:
+f(x), when f(x) >= 0
-f(x), when f(x) <= 0
然后把条件表达式放进去形成带条件的方程。先不管条件解出来以后,代入条件
看看是不是满足条件即可,不用解 x range 的不等式了。algebraic substitution
死推也推倒了,当然就是体力活多一些。
【在 x***1 的大作中提到】 : 我觉得做类似的题,首先十有八九得画图,用手画,不要借助于电脑。 : 如果画图很费事,比如绝对值里出现平方甚至立方项,如果分段,解不等式比解等式更 : 难,时间有限,立马得用绝对值的定义去解,也就是笨办法,看有多少组合。 : 如果还不行,就得用其他办法,比如楼上的平方啥的。
|
t******l 发帖数: 10908 | 43 另外画图主要是为了理解概念,真正解题是靠 algebraic deduction,不需要画图。
【在 x***1 的大作中提到】 : 我觉得做类似的题,首先十有八九得画图,用手画,不要借助于电脑。 : 如果画图很费事,比如绝对值里出现平方甚至立方项,如果分段,解不等式比解等式更 : 难,时间有限,立马得用绝对值的定义去解,也就是笨办法,看有多少组合。 : 如果还不行,就得用其他办法,比如楼上的平方啥的。
|
d**********h 发帖数: 2795 | 44 我觉得也是这样
代数推导可以严格保证一个问题被分解成等价的子问题的完备组合
画图就有些凭经验和感觉了,容易漏根
【在 t******l 的大作中提到】 : 另外画图主要是为了理解概念,真正解题是靠 algebraic deduction,不需要画图。
|
B****n 发帖数: 11290 | 45 這樣的問題 實在很難想像能有什麼特別快的解法
尤其是這個解法還要讓學生覺得容易接受
【在 t******l 的大作中提到】 : 俺教绝对值方程,是把绝对值函数进行分段函数展开而替换,然后按部就班, : 这么也能解出 AMC 10B problem 13,我觉得概念上也是证明不是?(我们 : 当年是不是就是这么教的?) : http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2010_AMC_10B_ : 但我开始想偷懒少教,让娃自学,所以我今天就去看了看 Khan Academy 在 : Algebra I 的教法。但我看了半天,觉得 Khan Academy 虽然这么表述简单 : 而直接,但如果依那个葫芦画瓢去解 AMC 10B problem 13,好像跨度有点大 : 不是?(如果题目改改,再少一个根,这跨度更大点)。 : http://www.khanacademy.org/math/algebra/solving-linear-equation : 然后我看了看 AMC 10 的标准解法,分情况讨论求解确实有板有眼,但没说明
|
t******l 发帖数: 10908 | 46 是。其实教这题的目的也不是啥巧妙的解法,而是根据代数符号系统做严瑾的推导,每
步都知道方向,但又不是像竖式乘法那样可以光练个手熟不动脑子。
(主要还是代数比竖式乘法变化多很多,光靠练成手熟的,我担心一般毅力不行又不愿
吃苦的娃,高中可能累成半死,大学搞不好会想 quit 然后改读文科。这个担心我觉得
在美国这边很实在)。
【在 B****n 的大作中提到】 : 這樣的問題 實在很難想像能有什麼特別快的解法 : 尤其是這個解法還要讓學生覺得容易接受
|
Y********d 发帖数: 1478 | 47 问个偏题的问题:你给娃讲解这些数学题目时,用英语还是中文?
我现在给娃讲故事书,已经面临这个语言选择的问题了,不知道以后会怎么样。
【在 t******l 的大作中提到】 : 是。其实教这题的目的也不是啥巧妙的解法,而是根据代数符号系统做严瑾的推导,每 : 步都知道方向,但又不是像竖式乘法那样可以光练个手熟不动脑子。 : (主要还是代数比竖式乘法变化多很多,光靠练成手熟的,我担心一般毅力不行又不愿 : 吃苦的娃,高中可能累成半死,大学搞不好会想 quit 然后改读文科。这个担心我觉得 : 在美国这边很实在)。
|
t******l 发帖数: 10908 | 48 英语
【在 Y********d 的大作中提到】 : 问个偏题的问题:你给娃讲解这些数学题目时,用英语还是中文? : 我现在给娃讲故事书,已经面临这个语言选择的问题了,不知道以后会怎么样。
|
Y********d 发帖数: 1478 | 49 可以理解六年级娃应该用英语教academic。
那么平时日常对话是中文还是英语?
刚开始引入数的概念,简单加减法呢?
【在 t******l 的大作中提到】 : 英语
|
t******l 发帖数: 10908 | 50 日常对话:中文。
小娃的 simple math:英语
【在 Y********d 的大作中提到】 : 可以理解六年级娃应该用英语教academic。 : 那么平时日常对话是中文还是英语? : 刚开始引入数的概念,简单加减法呢?
|
|
|
d**********h 发帖数: 2795 | 51 问个问题
加法,什么时候说plus,什么时候说add
减法,minus和subtract,孩子倾向后者,我习惯前者,为啥?
是不是初等数学和高等数学的区别
比如乘除的符号在代数阶段就被小点儿和/代替了,不会写x和÷
【在 t******l 的大作中提到】 : 日常对话:中文。 : 小娃的 simple math:英语
|
t******l 发帖数: 10908 | 52 小节不必拘泥
【在 d**********h 的大作中提到】 : 问个问题 : 加法,什么时候说plus,什么时候说add : 减法,minus和subtract,孩子倾向后者,我习惯前者,为啥? : 是不是初等数学和高等数学的区别 : 比如乘除的符号在代数阶段就被小点儿和/代替了,不会写x和÷
|
n***p 发帖数: 7668 | 53 我的看法如下:
标准数学用法,a+b, a-b, 读成 a plus b, a minus b.
add 和 subtract都是在描述性语言中出现,比如 add a and b, subtract b from a.
【在 d**********h 的大作中提到】 : 问个问题 : 加法,什么时候说plus,什么时候说add : 减法,minus和subtract,孩子倾向后者,我习惯前者,为啥? : 是不是初等数学和高等数学的区别 : 比如乘除的符号在代数阶段就被小点儿和/代替了,不会写x和÷
|
d**********h 发帖数: 2795 | 54 有道理
THX
.
【在 n***p 的大作中提到】 : 我的看法如下: : 标准数学用法,a+b, a-b, 读成 a plus b, a minus b. : add 和 subtract都是在描述性语言中出现,比如 add a and b, subtract b from a.
|