R********n
发帖数: 519 | 1 研究中牵涉到相关概念，但自己认识还很少，谢谢大家:-)
一个几何结构，如果global的来说，curvature都是常数，那么是不是这个结构
一定是hyper-sphere? 比如circle，sphere，etc
另外，一个几何结构，如果只是要求local的curvature是constant，那这个是？
比如一个Riemannian manifold，加上local curvature constant，能够得到？
谢谢！^_^ |
R********n
发帖数: 519 | 2 ?~~为什么我看到有人回复，但是看不到帖子，呵呵
【在 R********n 的大作中提到】
: 研究中牵涉到相关概念，但自己认识还很少，谢谢大家:-)
: 一个几何结构，如果global的来说，curvature都是常数，那么是不是这个结构
: 一定是hyper-sphere? 比如circle，sphere，etc
: 另外，一个几何结构，如果只是要求local的curvature是constant，那这个是？
: 比如一个Riemannian manifold，加上local curvature constant，能够得到？
: 谢谢！^_^
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s**e
发帖数: 1834 | 3 not sure whether your "hyper-sphere" already includes hyperbolic space,
which has negative curvature.
【在 R********n 的大作中提到】
: 研究中牵涉到相关概念，但自己认识还很少，谢谢大家:-)
: 一个几何结构，如果global的来说，curvature都是常数，那么是不是这个结构
: 一定是hyper-sphere? 比如circle，sphere，etc
: 另外，一个几何结构，如果只是要求local的curvature是constant，那这个是？
: 比如一个Riemannian manifold，加上local curvature constant，能够得到？
: 谢谢！^_^
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R********n
发帖数: 519 | 4 hyperbolic space，双曲空间？~~这个没有考虑到
那，比如在2 D的Euclidean space，所有的global constant curvature curve，就是
circle(部分circle也包括了)和hyperbolic curve？
Thanks
【在 s**e 的大作中提到】
: not sure whether your "hyper-sphere" already includes hyperbolic space,
: which has negative curvature.
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s**e
发帖数: 1834 | 5 Hyperbolic space (双曲空间) has curvature -1, but not nessecarily can be
embeded in an Euclidean space. Some info about hyperbolic space:
http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_space
I suppose the "hyperbolic curve" in your post refers to the curve x^2-y^2=1
in a Euclidean space. For some subtle reasons, it is NOT the same thing defined in the above wiki link, though they are defined using the same equation.
In the wiki link, a n-dim hyperbolic space is defined in a (n+1)-dim Minkowski space (not a
【在 R********n 的大作中提到】
: hyperbolic space，双曲空间？~~这个没有考虑到
: 那，比如在2 D的Euclidean space，所有的global constant curvature curve，就是
: circle(部分circle也包括了)和hyperbolic curve？
: Thanks
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l********e
发帖数: 3632 | 6 曲率如果只截面曲率（sectional curvature）那么只有三种
K=1的是球面，包括高维球面，或者他们的商空间，比如透镜空间(lens space，prizm
manifold等）
K=1的是欧式空间，或者它的商空间，比如环面，或者克莱因瓶等
K=-1的是双曲空间\mathbb H^n，或者它的商空间。
最后如果流行是联通的，那么局部常值和整体常值是一个意思。
如果你指的是其他曲率比如Ricci曲率，就复杂了。
【在 R********n 的大作中提到】
: 研究中牵涉到相关概念，但自己认识还很少，谢谢大家:-)
: 一个几何结构，如果global的来说，curvature都是常数，那么是不是这个结构
: 一定是hyper-sphere? 比如circle，sphere，etc
: 另外，一个几何结构，如果只是要求local的curvature是constant，那这个是？
: 比如一个Riemannian manifold，加上local curvature constant，能够得到？
: 谢谢！^_^
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l********e
发帖数: 3632 | 7 更正你一个概念。
曲线的曲率应该是0
你看到的曲线曲率是外蕴的曲率。
【在 R********n 的大作中提到】
: hyperbolic space，双曲空间？~~这个没有考虑到
: 那，比如在2 D的Euclidean space，所有的global constant curvature curve，就是
: circle(部分circle也包括了)和hyperbolic curve？
: Thanks
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R********n
发帖数: 519 | 8 谢谢你仔细的回答！:-)，我也是看了那个wiki，再继续学习下，呵呵
hyperbolic space是建立在 Minkowski space, not Euclidean space，
hyperbolic curve和hyperbolic space，我再继续理解~~
1
defined in the above wiki link, though they are defined using the same
equation.
Minkowski space (not a (n+1)-dim Euclidean space).
【在 s**e 的大作中提到】
: Hyperbolic space (双曲空间) has curvature -1, but not nessecarily can be
: embeded in an Euclidean space. Some info about hyperbolic space:
: http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_space
: I suppose the "hyperbolic curve" in your post refers to the curve x^2-y^2=1
: in a Euclidean space. For some subtle reasons, it is NOT the same thing defined in the above wiki link, though they are defined using the same equation.
: In the wiki link, a n-dim hyperbolic space is defined in a (n+1)-dim Minkowski space (not a
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R********n
发帖数: 519 | 9 谢谢你的回答:-)，赞！
就是说sectional curvature而言，其实就是你说的这3种情况
局部和全局我可能表达得不好，恩，是不是有这么一种情况，就是一个manifold，局部
曲率变化比较慢，可以认为近似constant,但是全局还是有变化的，不是不变的？~~这
是从应用出发的一个猜想，不知道是否合适
也谢谢你说的内蕴和外蕴曲率，我的理解是是不是内蕴曲率就是在manifold上面观察自
己，而外蕴则是嵌入到一个更高维空间，比如欧式空间，然后再观察。
所以你的意思是曲线的内蕴曲率是0，只有在外维空间来看，才有positive or
negative的曲率
我觉得从自己的应用出发，外蕴曲率对于很重要，我在欧式空间来观察这个manifold，
比如1D curve在R^2 or R^3来观察。这样的话，global constant curvature和local
constant(or local approximate constant curvature)d
的结论是不是还是和前面一样呢？
更进一步，一个高维Riemannian manifold，嵌入到R^N中间，怎么观察
【在 l********e 的大作中提到】
: 曲率如果只截面曲率（sectional curvature）那么只有三种
: K=1的是球面，包括高维球面，或者他们的商空间，比如透镜空间(lens space，prizm
: manifold等）
: K=1的是欧式空间，或者它的商空间，比如环面，或者克莱因瓶等
: K=-1的是双曲空间\mathbb H^n，或者它的商空间。
: 最后如果流行是联通的，那么局部常值和整体常值是一个意思。
: 如果你指的是其他曲率比如Ricci曲率，就复杂了。
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