R********n
发帖数: 519 | 1 有一个manifold M，嵌入在一个更高维度的欧式空间R^D里面（比如一个球面在R^3里面
）。对于欧式空间R^D中任意一点（或者比较靠近M的点）A，把A投影到M上面，得到点B
(AB是A到M的最短欧式距离)。点B在Manifold M上，B点的Normal Space是N_B
我的疑问是，AB是否在space N_B里面呢?
如果不成立的话，对于点A，是否一定可以找到点C，C属于M，并且使得AC在C的Normal
Space上面呢？
谢谢大家:-) |
l********e
发帖数: 3632 | 2 yes.
点B
Normal
【在 R********n 的大作中提到】
: 有一个manifold M，嵌入在一个更高维度的欧式空间R^D里面（比如一个球面在R^3里面
: ）。对于欧式空间R^D中任意一点（或者比较靠近M的点）A，把A投影到M上面，得到点B
: (AB是A到M的最短欧式距离)。点B在Manifold M上，B点的Normal Space是N_B
: 我的疑问是，AB是否在space N_B里面呢?
: 如果不成立的话，对于点A，是否一定可以找到点C，C属于M，并且使得AC在C的Normal
: Space上面呢？
: 谢谢大家:-)
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R********n
发帖数: 519 | 3 太好了！:-)，谢谢。你说的是指的“AB属于B点的Normal Space N_B”成立对吧？
这个对于点A的位置有没有要求呢，可以是R^D空间的任意一点？
这个是一个有名字的theorem吗，还是就是一个普通结论？
【在 l********e 的大作中提到】
: yes.
:
: 点B
: Normal
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l********e
发帖数: 3632 | 4 yes,
for points CLOSE to M, this is always true, it's called
"Tubular neighborhood theorem"
Of course, you must assume M is smooth(at least the tangent space must exsit)
【在 R********n 的大作中提到】
: 太好了！:-)，谢谢。你说的是指的“AB属于B点的Normal Space N_B”成立对吧？
: 这个对于点A的位置有没有要求呢，可以是R^D空间的任意一点？
: 这个是一个有名字的theorem吗，还是就是一个普通结论？
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R********n
发帖数: 519 | 5 太赞了！谢谢大牛，呵呵，我刚google到了这个Tubular neighborhood theorem
我想要这个结论的出发点是因为一个猜测，本来也不知道对不对，但感觉有了你说的这
个theorem，应该是对的？:-)
对于一个属于R^D的smooth Riemannian manifold M，如果我们以某个分布 P 在M上面
sampling点得到x，然后对x加上R^D空间各向同性的正态噪声e，得到y=x+e
另一方面，如果在M上以另一个分布P'在M上sampling点得到x'，然后对x'加上在x'的
normal space里的各项同性的正态噪声e'，得到y'=x'+e'
猜测是，如果正态噪声e的方差不是太大，我们通过选择分布P'和e'的方差，
可以使得y和y'的在R^D空间的分布是一样的
exsit)
【在 l********e 的大作中提到】
: yes,
: for points CLOSE to M, this is always true, it's called
: "Tubular neighborhood theorem"
: Of course, you must assume M is smooth(at least the tangent space must exsit)
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Q***5
发帖数: 994 | 6 <对于一个属于R^D的smooth Riemannian manifold M，如果我们以某个分布 P 在M上面
sampling点得到x，然后对x加上R^D空间各向同性的正态噪声e，得到y=x+e
另一方面，如果在M上以另一个分布P'在M上sampling点得到x'，然后对x'加上在x'的
normal space里的各项同性的正态噪声e'，得到y'=x'+e'
猜测是，如果正态噪声e的方差不是太大，我们通过选择分布P'和e'的方差，
可以使得y和y'的在R^D空间的分布是一样的>
This is unlikely true. For example, consider M is an arc (small portion of a
full circle) embeded R^2. In the first case, PDF>0 everywhere in R^2; in
the second case, PDF=0 in some regions of R^2.
You may need extra condition like: M has no boundary. --
【在 R********n 的大作中提到】
: 太赞了！谢谢大牛，呵呵，我刚google到了这个Tubular neighborhood theorem
: 我想要这个结论的出发点是因为一个猜测，本来也不知道对不对，但感觉有了你说的这
: 个theorem，应该是对的？:-)
: 对于一个属于R^D的smooth Riemannian manifold M，如果我们以某个分布 P 在M上面
: sampling点得到x，然后对x加上R^D空间各向同性的正态噪声e，得到y=x+e
: 另一方面，如果在M上以另一个分布P'在M上sampling点得到x'，然后对x'加上在x'的
: normal space里的各项同性的正态噪声e'，得到y'=x'+e'
: 猜测是，如果正态噪声e的方差不是太大，我们通过选择分布P'和e'的方差，
: 可以使得y和y'的在R^D空间的分布是一样的
:
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R********n
发帖数: 519 | 7 谢谢~~对，应该assume M没有boundary，或者先不考虑close to boundary的情况
我想Tubular neighborhood theorem的成立也是没有考虑boundary的case?
因为T.N.T.只是对close to M的points成立，可以假设噪声e的variance
很小，或者它的support就在一个很小的ball里面。比如，points y=x+e都几乎
属于M的tubular neighborhood
a
doubt
【在 Q***5 的大作中提到】
: <对于一个属于R^D的smooth Riemannian manifold M，如果我们以某个分布 P 在M上面
: sampling点得到x，然后对x加上R^D空间各向同性的正态噪声e，得到y=x+e
: 另一方面，如果在M上以另一个分布P'在M上sampling点得到x'，然后对x'加上在x'的
: normal space里的各项同性的正态噪声e'，得到y'=x'+e'
: 猜测是，如果正态噪声e的方差不是太大，我们通过选择分布P'和e'的方差，
: 可以使得y和y'的在R^D空间的分布是一样的>
: This is unlikely true. For example, consider M is an arc (small portion of a
: full circle) embeded R^2. In the first case, PDF>0 everywhere in R^2; in
: the second case, PDF=0 in some regions of R^2.
: You may need extra condition like: M has no boundary. --
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l********e
发帖数: 3632 | 8 严格意义上来讲，manifold with boundary is NOT manifold...
【在 R********n 的大作中提到】
: 谢谢~~对，应该assume M没有boundary，或者先不考虑close to boundary的情况
: 我想Tubular neighborhood theorem的成立也是没有考虑boundary的case?
: 因为T.N.T.只是对close to M的points成立，可以假设噪声e的variance
: 很小，或者它的support就在一个很小的ball里面。比如，points y=x+e都几乎
: 属于M的tubular neighborhood
:
: a
: doubt
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R********n
发帖数: 519 | 9 Thanks，呵呵，对
所以我现在不考虑这个情况，觉得这个结论应该是对的
【在 l********e 的大作中提到】
: 严格意义上来讲，manifold with boundary is NOT manifold...
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Q***5
发帖数: 994 | 10 <对于一个属于R^D的smooth Riemannian manifold M，如果我们以某个分布 P 在M上面
sampling点得到x，然后对x加上R^D空间各向同性的正态噪声e，得到y=x+e
另一方面，如果在M上以另一个分布P'在M上sampling点得到x'，然后对x'加上在x'的
normal space里的各项同性的正态噪声e'，得到y'=x'+e'
猜测是，如果正态噪声e的方差不是太大，我们通过选择分布P'和e'的方差，
可以使得y和y'的在R^D空间的分布是一样的>
Consider the simplest case: M is a unit circle embeded in R^2 and P is a
uniform distribution on M.
Whatever P' is, for any x', your y' (in the normal space) will be the
mixture of two Gaussian distributions with means at 1 and -1.
On the other hand, con
【在 R********n 的大作中提到】
: Thanks，呵呵，对
: 所以我现在不考虑这个情况，觉得这个结论应该是对的
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