l******r
发帖数: 18699 | 1 f(x)是一个[-pi,pi]上的函数，则f(x)可以展开成三角级数。可是由于周期性，三角级
数在边界-pi和pi是相等的，实际中f(-pi)不一定等于f(pi)。这个矛盾怎么解释？ |
n*******l
发帖数: 2911 | 2 假定f(x)是L^2函数，是不是可以说傅立叶级数L^2收敛，单点的值没有意义？
【在 l******r 的大作中提到】
: f(x)是一个[-pi,pi]上的函数，则f(x)可以展开成三角级数。可是由于周期性，三角级
: 数在边界-pi和pi是相等的，实际中f(-pi)不一定等于f(pi)。这个矛盾怎么解释？
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l******r
发帖数: 18699 | 3 很有道理。只能这么认为了。
【在 n*******l 的大作中提到】
: 假定f(x)是L^2函数，是不是可以说傅立叶级数L^2收敛，单点的值没有意义？
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Z**n
发帖数: 95 | 4 If f(x) is not an even function, f(-pi) != f(pi).
As f(x) is actually a combination of An cos(nw) and Bn sin(nw). |
l******r
发帖数: 18699 | 5 是啊，如果f（x）不对称，那么f(-pi)!=f(pi), 可是三角级数中的sin cos函数都是
2pi周期，三角级数应该是在pi和-pi取值一样。这正是奇妙之处。
按2楼说法，考虑边界点没意义，因为是L_2收敛。感觉这个说法合理。
【在 Z**n 的大作中提到】
: If f(x) is not an even function, f(-pi) != f(pi).
: As f(x) is actually a combination of An cos(nw) and Bn sin(nw).
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l*****r
发帖数: 11 | |
f**********d
发帖数: 4960 | 7 如果不是周期函数应考虑傅里叶变换
【在 l*****r 的大作中提到】
: f(x)必须是周期函数才能表示成三角级数
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l******r
发帖数: 18699 | 8 周期性是一个整体性质。实际中人们常常考虑一个函数在某一区间的特征，则没必要上
升到周期性的高度。当然任意区间内的函数都可以延拓到整个实轴成为一个周期函数。
这里我的我的问题是仅考虑一个区间内的函数的三角级数展开。展开式在两端点必须相
等，可是函数本身在两个端点未必相等。
【在 l*****r 的大作中提到】
: f(x)必须是周期函数才能表示成三角级数
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B********e
发帖数: 10014 | 9 find any college textbook named <>, go to the Fourier series part,
check the key word "Fourier series covnergence theorem" you will get the
answer.
a standard description for piecewise continuous function with cts first
derivative is, its fourier serier converges to its function value at cts
point, while it converges to the average value of left/right limits at
discontinuous points.
namely, yes you can talk about pointwise convergence(stronger than L2)
【在 l******r 的大作中提到】
: f(x)是一个[-pi,pi]上的函数，则f(x)可以展开成三角级数。可是由于周期性，三角级
: 数在边界-pi和pi是相等的，实际中f(-pi)不一定等于f(pi)。这个矛盾怎么解释？
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z*********g
发帖数: 37 | 10 你仔细看看收敛定理，端点即使收敛，也不保证收敛的数值与原来函数的取值相同。
所以，你这个问题问得很好。 |
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l******r
发帖数: 18699 | 11 但是这样的点至多可数对吧？
【在 z*********g 的大作中提到】
: 你仔细看看收敛定理，端点即使收敛，也不保证收敛的数值与原来函数的取值相同。
: 所以，你这个问题问得很好。
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l*****r
发帖数: 11 | 12 这就是傅立叶变换了，不是傅立叶级数
【在 l******r 的大作中提到】
: 周期性是一个整体性质。实际中人们常常考虑一个函数在某一区间的特征，则没必要上
: 升到周期性的高度。当然任意区间内的函数都可以延拓到整个实轴成为一个周期函数。
: 这里我的我的问题是仅考虑一个区间内的函数的三角级数展开。展开式在两端点必须相
: 等，可是函数本身在两个端点未必相等。
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y*******e
发帖数: 12 | |
z*********g
发帖数: 37 | 14
对的
在连续可微的开区间上没有问题。在端点就不可以了。
如果你做周期延拓，端点变成内点，你就可以看到端点性质。在非常宽松的条件下，
应该是左右极限的平均值等于级数收敛的值。
一个简单的例子在维基上可以看到。希望这些能够帮到你
【在 l******r 的大作中提到】
: 但是这样的点至多可数对吧？
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l******r
发帖数: 18699 | 15 这个解答太好了，谢谢。
【在 z*********g 的大作中提到】
:
: 对的
: 在连续可微的开区间上没有问题。在端点就不可以了。
: 如果你做周期延拓，端点变成内点，你就可以看到端点性质。在非常宽松的条件下，
: 应该是左右极限的平均值等于级数收敛的值。
: 一个简单的例子在维基上可以看到。希望这些能够帮到你
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w**a
发帖数: 1024 | 16 任何间断都会产生 GIBBS 效应
关于傅里叶级数的收敛性参见 dirichlet 的定理。
http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_conditions
【在 l******r 的大作中提到】
: f(x)是一个[-pi,pi]上的函数，则f(x)可以展开成三角级数。可是由于周期性，三角级
: 数在边界-pi和pi是相等的，实际中f(-pi)不一定等于f(pi)。这个矛盾怎么解释？
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l***y
发帖数: 1166 | 17 sin cos 叠加， 叠加之后不一定相等吧
【在 l******r 的大作中提到】
: f(x)是一个[-pi,pi]上的函数，则f(x)可以展开成三角级数。可是由于周期性，三角级
: 数在边界-pi和pi是相等的，实际中f(-pi)不一定等于f(pi)。这个矛盾怎么解释？
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