t******l
发帖数: 10908 | 1 我不是想你这个。。。
我其实在想的，比如 MOEMS divE 这里 non-routine pre-algebra 题目的 non-guess
& check 解法，能否解决 DNF 在 AIME 的问题，我觉得怀疑。
另外更重要的是，我觉得早年 AIME 的前几题，其实也不比 MOEMS divE 难，可能更简
单，有的心算即可。。。但娃就是不行，我发现原因可能是 pre-algebra logic，跟
algebra 的 "wishful thinking"，鸿沟很大。。。
这样的话，如果 MOEMS divE 的 non-routine pre-algebra problem 的 non-guess 解
法，其实并不能保证避免被 DNF 在 AIME，我觉得可能 MOEMS 就当 fun problem,
guess & check, list & check 搞一搞就算了。。。剩下的还不如跑步进入 AMC 10 的
概念（不需要熟练），然后直接上简单的 AIME 算了。。。这样比较笨的，那也至少通
过 AMC 10 routine problem 学点数学概念，不算被 DNF... 阅读全帖 |
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t******l
发帖数: 10908 | 2 虽然是个常识，但还是提一下，在中小学教育方面，二次方程和抛物线，不完全是一回
事。
二次方程主要是 semantic processing，解出几个根就差不多了，主要是 algebraic
manipulation。
而抛物线（二次曲线），是 spatial-perceptual process，要把二次函数所有的点投
射到笛卡尔空间，而其目的并不仅仅是 algebraic manipulation，而是为 pre-
calculus 和 kinematics 打基础。
所以我的意思不是说对于普通娃不要 spiral parabola 的意思。我的意思是在
algebra 1 之前的 spiral parabola，直接 feed 就行了。也就是在 figure food 以
前，直接用勺喂，效率更高的意思。
也就是直接告诉是光滑曲线就完事了，不需要拿五点连成个多边形，但不告诉是光滑曲
线。搞得人还得说 pre-calculus / kinematics 如是说，pre-algebra 如彼说。两套
系统。
真的要拿点连起来做实验的话，gnuplot 也不用钱不是，五点连线多边形引导一... 阅读全帖 |
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t******l
发帖数: 10908 | 3 另一方面，我觉得 “美式构建式数学教育”，在 代数/前代数/Formal-Operation 阶
段最大的问题，两个：
其一：是在 Formal Operation 阶段，没有考虑 Formal Operation 阶段的特点，照抄
小学阶段 Concrete Operation 的 spiral 教学法。这带来 (a) 教学进度太慢，教授
的基础知识太少，花太多时间在不必要的 spiral 上，(b) 在 Formal Operation 的
spiral 的循序渐进层面，也有问题。
这个原因是 Formal Operation 是有明显的阶段性和结构性的，而 spiral 的时候很难
越过阶段性和结构性的边界。举个例子就是：
Algebra 1 和 "linear" geometry / "linear" analytic geometry，比如 solve
linear equation, solve system equations, complete a square, solve quadratic
equation, equation of line, slope of ... 阅读全帖 |
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t******l
发帖数: 10908 | 4 首先 “algebra”（注：不包括 baby algebra 或者 “人肉代数计算器”），从词源
上看，并不是字面上的 “用字母代替数”，而是 "science of restoration (or
reunion) and opposition" 或者 "science of transposition and cancellation"。
引用证据如下：
origin of word "algebra":
http://www.und.edu/instruct/lgeller/algebra.html
而教娃跟教父母的区别是，娃娃由于没有先验知识，会导致从字面上理解 “用字母代
替数” 这句话，导致错误理解。 |
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S*******h
发帖数: 7021 | 5 【 以下文字转载自 USANews 讨论区 】
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标 题: videos on common core
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Apr 17 22:36:28 2016, 美东)
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Dr. James Milgram, Math expert, exposes Common Core Math as insufficient. Dr
. Milgram was THE math PHD on the validation committee of Common Core. He
opposes common core, refused to sign a rubber stamp letter the Core
organization asked him to sign.
1. He points out that the core math standard is extremely low. stops at
A... 阅读全帖 |
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S*******h
发帖数: 7021 | 6 【 以下文字转载自 USANews 讨论区 】
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S*******h
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S*******h
发帖数: 7021 | 8 【 以下文字转载自 USANews 讨论区 】
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c*h
发帖数: 33018 | 9 aoc (大风(羽扇纶巾))：
小孩不在rachel carson 或long fellow middle school 的GT，考TJ还是比较难的
考TJ, 首先报名就有限制，数学一定要到一定程度才可以报名, 外加三篇作文和推荐信
。 最终录取率在15%左右
虾蟹大酱：
TJ要照顾各个族裔，必然需要降低入学考试的数学试题难度。而且据我所知，只要在入
学考试数学拿了70%或以上就可以进入第二轮。所以其学生的数学基础无法和中国重点
中学学生相比。
但是进入TJ以后，其Algebra 2, Precalculus, Calculus BC (single-variable),
Multi-variable Calculus, Linear Algebra，Statistics的难度都比我当年武汉二中
和武汉大学课程高，所以最后的结果是，90%的学生虽然上了这些课，但并没有真正掌
握数学技能，如果进入大学不学数学，统计，物理，工程，或经济，几年后就会把在TJ
学习的数学忘光，但另外10%的天才学生其数学能力则超过武汉大学数学系本科生。美
国的天才教育只对最优秀的人才有效。
对数学要求不高。
... 阅读全帖 |
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J***o
发帖数: 7166 | 10 I was wondering if in another language the below Chinese could have an
easier way to be understood.
"Right, rational numbers are algebraic . I say quite accurate. Strictly
speaking, algebraic number is divided irrational and rational algebraic
number
Number of algebra. But both are countable (added together is countable)."
I did, but nothing changed. Pain always tastes bitter. |
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g****t
发帖数: 31659 | 12 我多年前phd论文是PDE的formal power series的研究。
写过不少代码。例如一个多元Fourier series的反函数，
梯度，积分，以及函数迭代，小扰动等等。
: 如果要搞几何化，你都研究Grassmann了，研究tensor不如研究multivector （
of
: Cliford Algebra, aka. Geometric Algebra)，tensor太general了，不适合几
何化。
: 而multivector，与几何是一一对应的。
: 现代物理学（包括广义相对论，量子力学）用Geometric Algebra来描述非常简
单明了
: ，这方面的书可以看看
: https://www.amazon.com/Geometric-Algebra-Physicists-Chris-Doran/dp/
: 0521715954
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g****t
发帖数: 31659 | 13 来自主题: Mathematics版 - 求答案书 linear algrbra既然是代数，其实不要求讨论的element是不是数。
numerical linear algebra感觉像是
复/实数矩阵的扰动分析+经典算法collection。
数学上面linear algebra基本上是finite dimensional vector space，
而numerical linear algebra差不多是matrix computation.
但是很多工科的linear algebra课是这两种的混合物。 |
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h******d
发帖数: 81 | 14 I thought there are two Gromov Witten invariants in symplectic geometry and
in algebraic geometry. However, some people say"counts holomorphic map from
riemann surface to smooth algebraic variety over C". I think if you refer to
smooth algebraic variety over C, you should mean in algebraic geometry, but
then it should be "count the MORPHISM rather than HOLOMORPHIC MAP", because
morphism is polynomial map.Is it righ?
MAPs
of |
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v*********n
发帖数: 573 | 15 http://www1.bbsland.com/education/messages/240997.html
有人分析了田的工作，看来这厮是惯犯:)
yautian's comments on Tian's work are fair, but here are some more
information about these works:
The n=2 case of the KE metric of positive first Chern class was developed
from Tian's thesis by using a trick first found by Siu. Siu gave lectures at
Columbia and other occasions and Tian was in the audience. After that Tian
wrote up a
paper which became part of his thesis. Siu was very angry, and said that
Tian
had moral pr... 阅读全帖 |
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s*****V
发帖数: 21731 | 16 http://site.douban.com/130104/widget/notes/5389697/note/1820952
2011-11-03 23:35:00
我想谈谈过去五十年和我预测未来一百年的代数几何,我将一次次分开讨论,如果有兴趣
请支持:
1940-1965
代数几何在1900年以前,已经有了代数曲面的部分理论和代数曲线上的Riemann-Roch定
理,但是语言和概念处于一个混乱的状态.在1950到1965年间出现了三个巨大的革命.奠
定了代数几何的秩序描述了重要的问题,提供了未来发展的方向.她们是Hodge(加一堆人
)开创复几何, Kodaira的三大工作和Grothendieck的抽象语言及新定义(问题):
让我先讲第一项工作.
Hodge+Lefschetz+Kaehler考虑了复流形的定义和一般的性质,Kaehler引入了Kaehler度
量,Hodge利用了分析中着名的Elliptic regularity对Kaehler流形的上同调群作了至今
仍然神秘的Hodge分解,并且提出着名的Hodge猜想,Lefschetz证明了Hodge猜想的非常特
殊情形... 阅读全帖 |
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x********i
发帖数: 905 | 17 Section 1: Logic and Foundations
1. Zoé Chatzidakis, Université Paris Diderot-Paris 7, France
2. Ilijas Farah, York University, Canada
3. Byunghan Kim, Yonsei University, Korea
4. François Loeser, Université Pierre et Marie Curie-Paris 6, France
* Joint Speaker with Section 4. Algebraic and Complex Geometry
5. Antonio Montalbán, University of California, Berkeley, USA
6. Slawomir Solecki, University of Illinois at Urbana-Champaign, USA
Section 2: Algebra
1. Nicolás Andruskiewitsch, Univer... 阅读全帖 |
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N**G
发帖数: 392 | 18 前几年，我老板发展出一套基于derived functor 的algebraic K theory,把高阶K定义
成K_0的在很一般意义下的 derived functor(实际上是所谓satellites, 卫星），然后
发展出的这一整套K theory 满足Quillen K theory的所有性质，比如localization
sequence啊，reduction by resolution啊，divessage 啊之类的，并且在一些标准代
数结构的计算上，这两个K theory给出的结果都是一样的，所以我老板就有个自然的问
题，到底他自己的K theory和Quillen的K theory是不是同构的，也就是说Quillen的代
数K 理论是不是universal的。
他把这个问题给我当时的一个师弟Eric Bunch做，基本上在课上已经把怎么怎么做都讲
出来了，其实就是去算一下这两个K theory在一个category上的某种injectives（用
simplicial tower构造出来的）上是不是一样的，他自己懒得去算，就叫我们去算，而
当时Eric正好有兴趣，就去... 阅读全帖 |
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i*******n
发帖数: 166 | 19 首届数学突破奖，5人，每人300万美元
https://breakthroughprize.org/?controller=Page&action=news&news_id=18
Simon Donaldson, Stony Brook University and Imperial College London, for the
new revolutionary invariants of 4-dimensional manifolds and for the study
of the relation between stability in algebraic geometry and in global
differential geometry, both for bundles and for Fano varieties.
Maxim Kontsevich, Institut des Hautes Études Scientifiques, for work
making a deep impact in a vast variety of mathemati... 阅读全帖 |
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t********w
发帖数: 347 | 20 The Breakthrough Prize in Mathematics is an award announced in 2013, and
funded by Yuri Milner and Mark Zuckerberg.
The first awards of the Prize, worth $3 million to each recipient, were made
in 2014:
Simon Donaldson – "For the new revolutionary invariants of 4-dimensional
manifolds and for the study of the relation between stability in algebraic
geometry and in global differential geometry, both for bundles and for Fano
varieties.
Maxim Kontsevich – "For work making a deep impact in a vast var... 阅读全帖 |
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x********i
发帖数: 905 | 21 http://arxiv.org/abs/1509.05576
The Riemann hypothesis is, and will hopefully remain for a long time, a
great motivation to uncover and explore new parts of the mathematical world.
After reviewing its impact on the development of algebraic geometry we
discuss three strategies, working concretely at the level of the explicit
formulas. The first strategy is "analytic" and is based on Riemannian spaces
and Selberg's work on the trace formula and its comparison with the
explicit formulas. The second... 阅读全帖 |
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t******n
发帖数: 6242 | 22 今天无聊，看到这篇无聊的文章，就给你无聊地翻译成英文吧。
探索星系的捷径
A Shortcut to Galaxy Exploration
1. 问苍天情为何物？
1. Ask what love is heaven?
有人类的历史以来，人类就不断地探索自然，扩展了解自然的疆界。哥伦布发现新大陆
就是最好的例子。人类探索自然的勇气是从哪儿来的呢？来自人类情感的力量。那么，
情感是什么东西呢？这是千万年来，文学家探索的主题。在有一些文学家的眼中，物理
学家是没有情感的冷血动物。我就是一个物理学家。但是，我一点也不埋怨这些文学家
。虽然物理学家在自然界的探索中做出了伟大的贡献，但是，物理学家从来就没有给出
情感的物理定义是什么，也没有找到自然界蕴含情感的丝毫证据。所以，虽然人类知道
自己的生存发展跟自然环境是密不可分的，但是，很少有人类表达出对自然环境感谢的
情感。在很多人的眼中，自然界是死亡无情的物质世界。中国有一句古语，叫做“天若
有情天亦老”。因为几乎所有人类相信天是不老的，所以，认为苍天是没有情感的，就
不足为奇了。我提出了一个宇宙生长衰老的模型。虽然这个模型及其简单，能解释大多
... 阅读全帖 |
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m******u
发帖数: 277 | 23 上学期选了Calculus III，里面涵盖了linear algebra, differential equation和
vector calculus三个部分。
课本是：Differential Equations and Linear Algebra 3rd ed. - S. Goode, et. al.
不知道是否还需要再上一门Linear algebra的课呢？课本是： bretscher's linear
algebra with applications 5th ed.
我知道Advanced Calculus也很重要，不知道如果两门同时上的话，会不会太多了点?
请版上大牛多多指点。不甚感激！
p.s.现在小硕学历全职工作中，有意愿申请PhD，目前需要补一些数学的基础课。
祝大家新年快乐！每天进步一点点～ |
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S*******h
发帖数: 7021 | 24 【 以下文字转载自 USANews 讨论区 】
发信人: abracadabra (abracadabra), 信区: USANews
标 题: videos on common core
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Apr 17 22:36:28 2016, 美东)
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Dr. James Milgram, Math expert, exposes Common Core Math as insufficient. Dr
. Milgram was THE math PHD on the validation committee of Common Core. He
opposes common core, refused to sign a rubber stamp letter the Core
organization asked him to sign.
1. He points out that the core math standard is extremely low. stops at
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发帖数: 1 | 26 我干嘛要讲算子理论？
不讲脏话，在菌斑还能开口吗？mlgb的。
一元二次方程在中国是初中课程，在美国algebra是AP课程，大部分学生
都没念的。到大学再念的时候是属于college algebra 1 的内容。
而college algebra，美国大学需要修的人也不多。也就理工科需要。 |
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发帖数: 1 | 27 忠于北朝鲜的日本朝鲜族人
Inside the classroom of the North Korean school in Tokyo
By Rachel Mealey in Tokyo
Updated 32 minutes ago
A teacher wearing a pink traditional dress from North Korea stands in front
of a blackboard filled with algebra.PHOTO: The teacher wears traditional
dress from North Korea while educating the students. (ABC News)
MAP: Japan
Algebra is a universal language.
A rosy-cheeked young teacher is instructing her class in the finer points of
x and y and attempting to explain just what to ... 阅读全帖 |
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发帖数: 1 | 28 EE参考书目---数学类
LunarModule
来自: LunarModule (上海) 2012-10-06创建 2012-10-06更新
如何找好书：
1.去MIT OpenCourseWare（http://ocw.mit.edu/courses/），找相关课程的课本/参考书(Textbook/Referencebook)
2.看amazon.com上的评价 & 所列出的”同时购买”书单
3.好书后面的参考资料 & 推荐阅读
4.牛人写的书
5.豆瓣上的书评&豆列
6.网上热心人写的推荐书目
===================================================================
[数学类]
一、微积分/数学分析
1.《托马斯微积分》
2.《微积分和数学分析引论》 柯朗
3.《微积分学教程》 菲赫金哥尔茨
4.《数学分析习题集》 吉米多维奇
5.《吉米多维奇 数学分析习题集 学习指引》 谢惠民
6.《数学分析新讲》 张筑生
二、线性代数
7.《Introduction to Linear Algebra》 Gilbert Str... 阅读全帖 |
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发帖数: 1 | 29 计算数学是指numerical analysis和computational approximation, 你说的这部分用
的是linear algebra,跟numerical linear algebra的知识段，并不一样的。
numerical analysis指的是Newton's method，Euler's formula这些。
而numerical linear algebra 指的是 lease square，Jacobian matrix 这类知识段
Convolutional Neural Networks 都用到我提的这些知识面了吗? |
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h****r
发帖数: 258 | 30 可惜了这么好的教学楼和设施。
Nearly 200 teachers have quit their jobs in D.C. Public Schools since the
school year
began, forcing principals to scramble to cover their classes with
substitutes and
depriving many students of quality instruction in critical subjects.
The vacancies hit hardest in schools that already face numerous academic
challenges,
according to data The Washington Post obtained through a Freedom of
Information Act
request.
At Ballou High School in Southeast Washington, more than a quarter of ... 阅读全帖 |
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d****g
发帖数: 7460 | 32 严重同意。话说昨天我看见＂朱好大＂提＂实数公理＂，不明觉厉，惭愧难当，遂去古
狗。发现了个对数学高屋建瓴的综述：WIKIPEDIA。。觉得挺有收获。
http://en.wikipedia.org/wiki/Areas_of_mathematics
1Foundations
1.1Arithmetics：The study of quantity.
1.2Algebra：
1.2.1 elementary algebra.
numbers, first the familiar natural numbers and integers and their
arithmetical operations
1.2.2 number theory.The deeper properties of these numbers
1.2.3 abstract algebra. The investigation of methods to solve equations
among other things, studies rings and fields, structures that g... 阅读全帖 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 33 recreational math 跟 recreational swim 差不多，将来不能指望那个找工。
不过也不需要小学就懂 field theory，只要懂一点娃版 math foundation，娃就可以
跳过 pre-algebra 自己慢慢琢磨 algebra 的书。。。当然这个年龄父母还是要引导加
答疑的。。。不过总之只要把 algebra 看成个 formal system，难度就不会太高。。
。。也不需要苦叉刷题搞得人生都很苦叉。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 34 俺刚才在网上看 AoPS Introductory Algebra 的 table of contents 和 excerpts。
。。为啥俺觉得这么贵的书，还不如大众喜闻乐见的便宜流行书来得生动有趣啊，而且
内容的深度差别不大。
AoPS Intermediate Algebra 看起来确是物有所值，一般的 algebra 书没有讲那么深
层。
有用过的谈谈心得？还有马克老师咋看？ |
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t*******r
发帖数: 22634 | 35 我娃是今年（五年级）开始的，去年还是不行，娃说她不喜欢 algebra。。。今年我拿
algebra I 和 algebra II 的书给她看，娃说她可以自己看，我主要负责答疑和稍微
挥发一点。。。不过我娃没上练习题集，主要还是理解概念和会解题，离开人肉代数计
算器还有很大距离。。。我目前不打算推习题集，先保证兴趣。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 36 俺更正一下，美帝不少 algebra 2 的书还是有一定深度的。。。关键还是美帝这里没
有统一标准，光看书名太容易被误导了。。。封皮上同样都叫 algebra / algebra 2，
里面可能完全不是一回事。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 37 你介绍的这本书不错，俺到 BN.com 上看了一眼。。。当然你娃太牛了，
小学低年级就看这本书有木有！！！。。。
俺在 BN.com 上想看 algebra 部分的时候，BN.com 丫的就不让俺看了。
BTW：俺们被 hold 的书是 “Maran Illustrated Effortless Algebra”，
也是彩色的，俺觉得也还不错，推荐一下。。。不过将来再往后，彩色的排版
的数学书多半就不多见了。。。最后还是得能读那些普通的书。。。所以被
hold 了也无所谓其实，正好让娃看普通版的。。。
给个 Amazon link，其实也不贵，就 $17。。。当然俺就抠门一下了。。。
http://www.amazon.com/Illustrated-Effortless-Algebra-maranGraph |
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t*******r
发帖数: 22634 | 38 pre-algebra 里没多少括号和复杂表达式需要化简，外加证明的概念很弱。。。如果不
是为了理解概念，以及为将来 Algebra I 打基础的话，光靠肌肉记忆可能就差不多搞
定 pre-algebra test preparation 了。 |
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u*****7
发帖数: 746 | 39 Algebra I的课本一般前１－３章就是这些Prealgebra里初级代数的东西。很多学校大
部分学生是８年级上Algebra I的，其实就是正常８年级内容和Algebra I的融合。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 40 我们主要从 problem solving 入手，不太纠结具体数学教材，也基本不用教材。
年初曾经 spiral 过代数的时候，随便从图书馆借了几本 algebra 1 的书，也不挑剔
。这也就一两个月就完事了。
当然 spiral 完了到现在，娃还是基本不会做 algebra word problem。当然 AMC8 基
本很少 algebra word problem，所以目前也能混。当然，AMC10 应该会有瓶颈，不过
到时再赶鸭子上架就是了。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 41 另一方面，我觉得这个刷墙工的比喻的实战意义，我觉得有两点：
（1）就 “难题 vs 超前” 的实战而言：
从这个角度说，对于大多数不打算最终上竞赛的娃，的确是死扣 AMC8
的最后几道难题，意义不大。我觉得如果能看懂解法，就应该可以上
AMC10 尽早进入 algebra。可以先跳过 AMC10 的 16-25 题，能进入
algebra 更重要。万一 AMC10 的 1-10 题都太难，我觉得就上普通型
9 年级 math 的 algebra/geometric word problem，也比死扣 AMC8
难题，对普通非竞赛 track 的娃，更靠谱一些。
（2）对于数学理解/数学理论/数学美 而言：
对于大多数数学普通娃而言，数学本质上，还是一件工具。所谓的“数学美”，
实话实说，撑死了也就是一件漂亮的工具，还是 close-ended。（不好意思
给数学教授们添堵了）。
我觉得对小学初中普通娃，与其纠结那些 structured close-ended
“数学美”，不如追求小学初中普通娃喜闻乐见的 unstructured “科学美”，
更靠谱一些。比如 cosmology 和... 阅读全帖 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 42 从这个角度看，中小学数学，其实最后有用的就是 mathematical model +
mathematical thinking + problem solving。而中学物理其实最后有用的就是 real
world modelling using mathematics。
其他的具体公式定理定律，对于大部分人，基本要么用不上，要么用的时候 wiki 一下
就差不多了。
从这个角度看，确实还是适当超前比牛角尖难题更重要。但这里超前的意思，不是背诵
一大堆几角旮旯的公式定理，而是能早上 algebraic thinking 就早点上 algebraic
thinking，没必要跟 pre-algebra 难题多过纠缠。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 43 另外我目测这个 math ELA 化最大的 hit，可能是在 pre-algebra 阶段。
因为 pre-algebra 阶段传统上是 verbal thinker 最强悍的日子。到 algebra 时，才
是 formal / spatial thinker 露头角的时候。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 44 你这是 MOEMS 的 division M？我前面说的是指 division E。divE 我没见过这样的题。
另一方面，我觉得 MOEMS 实际上比 AMC 8 难。但我觉得 MOEMS 跟学校数学不是那么
接轨，毕竟学校分数也是实在的考虑。
另外 MOEMS 比较灵巧，但不是那么考虑一步步跟 algebra 接轨，这也是我们只玩了一
年 MOEMS 的原因。
因为我后来觉得 algebra 虽然死板，但毕竟是吃饭的本钱。尤其我担心娃的数学天分
不太给力的情况，能上 algebra 正确地依葫芦画瓢更重要。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 45 对于 pre-algebra “分数应用题” 里的那些 “速度问题” 啥的，这个在教娃方面
难坏我了。我曾经一直都不知道咋用 pre-algebra 的 verbal loics 来教娃。
但我后来觉得不如先让娃有 algebra 的概念，然后把速度问题直接用解析几何
坐标系的图形化后解释。这招貌似非常给力，娃马上可以知道咋解速度问题了。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 46 另外对于 pre-algebra 阶段，以及我跟娃在四年级是做 MOEMS 趣味数学的时候，
就遇到这个 dilemma：
当时我觉得 MOEMS 的标准答案文字解释非常坑爹，于是我把所有讲的题，统统用
瓢虫阵法图形解释。而在瓢虫阵法的图形解释里，加上点省略号，就揉入了 “ANY"
“EXIST” 之类的表达。
上面这些看起来很好，我做的看起来也很成功。但一年之后我发现此路不通。原因
很简单，这个是语言交流和语言演绎的问题。这么搞就好比是不认字的高级知识分
子，交流不行，也不能写文字一遍遍修改到正确。
所以我因此改变了对 pre-algebra / 提早 algebra 的看法。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 47 这样从上面的分析来看，arithmetic（不包含 pre-algebra）是 Concrete + Spatial，
algebra 是 Formal + Spatial。-- mathematical-logics + mathematical-structure
至于 pre-algebra 阶段出现的大量 verbal logics，个人觉得是 natural-language-
based，mathematical logic in language art fashion + mathematical structure
in language art fashion。其实自然语言也是有画面感的，画面感就是 spatial /
structure。自然语言也是有数学逻辑结构也能 problem solving 的，比如：“山顶动人
俩俩相约去打一只野猪，如果打不下来就打一只野兔交差。” 等等等等。。。只是这
玩意儿最终能在数学上走多远，不好说。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 48 （1）对于 “是有很多题，可以通过更高层的概念来极大简化，但真要选择了这个
方向作职业，到做研究的时候靠这些是不够的，毕竟要解决的问题都不是那样可以
解决的，”：
现在信息时代跟以前不同了，AMC 8 (pre-algebra) 有 20 - 25 题的难题，
AMC 10 (algebra 1) 也有 20 -25 题的难题，AMC 12 (algebra 2 & beyond)
还是有 20 -25 题的难题，不过瘾还有 AIME / USAMO / IMO 难题。等等等等。
总之信息时代不会因为找不到某一认知层次的难题，而哭晕在厕所的事儿发生。
当然其中一个例外是数学早慧娃，（这个我前面的帖子就已经排除了）。对于数学
早慧娃，会不会先获得解拐弯抹角难题的能力，然后才获得 formal operation
/ vision / thinking 的能力，不知道。所以我前面的帖子排除了数学早慧娃。
但是对一般的非数学早慧娃，通常是先获得 formal operation / vision
/ thinking 的能力，然后才获得解拐弯抹角题的能力。
就好比一般的非阅读早慧娃，都是先学... 阅读全帖 |
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t******l
发帖数: 10908 | 49 从这个角度说，小娃认知 “苹果” 这个概念（不一定能说出来），是一个 level
的 concretize，也就是不管纽约红苹果，还是 TJ 熟苹果，都是苹果不是？
然后的事儿，小娃认知 “实物数数” 的概念，是往上一个 level 的 concretize。
也就是说，不管是 3 只纽约红苹果，还是 3 只 TJ 熟苹果。都是 3。
但这个 level 的同时，还会发生另一个 concretize，using rule/hint。
比如，jigsaw puzzle 咋能快速拚上，chess rule 咋使用，等等等等。
然后就是上了 arithmetic property，这个阶段 property 也是 using rule/hint。
然后就是上了 variable / constant / simple expression，using rule/hint
in algebra expression。（pre-algebra）。
然后我觉得 algebra 1 开始了一个转换点，在这点上，rule/hint 本身，开始成为
一个 concrete 的 object。也就是说，p... 阅读全帖 |
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t******l
发帖数: 10908 | 50 从这个角度说，小娃认知 “苹果” 这个概念（不一定能说出来），是一个 level
的 concretize，也就是不管纽约红苹果，还是 TJ 熟苹果，都是苹果不是？
然后的事儿，小娃认知 “实物数数” 的概念，是往上一个 level 的 concretize。
也就是说，不管是 3 只纽约红苹果，还是 3 只 TJ 熟苹果。都是 3。
但这个 level 的同时，还会发生另一个 concretize，using rule/hint。
比如，jigsaw puzzle 咋能快速拚上，chess rule 咋使用，等等等等。
然后就是上了 arithmetic property，这个阶段 property 也是 using rule/hint。
然后就是上了 variable / constant / simple expression，using rule/hint
in algebra expression。（pre-algebra）。
然后我觉得 algebra 1 开始了一个转换点，在这点上，rule/hint 本身，开始成为
一个 concrete 的 object。也就是说，p... 阅读全帖 |
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