c*******t
发帖数: 953 | 1 （以欧几里德空间为例，线性算子就是从左方向“向量”乘过来的矩阵）
1. 每个矩阵都有特征值吗？
2. 二维空间的旋转算子是不是没有特征值？
3. 三维空间的旋转算子是不是只有一个特征值/特征向量（旋转轴）？
4. 三维空间的镜像算子是不是（一般）有两个特征值？一个特征值对应的特征向量是
法线向量，另外一个对应反射平面（平面里面有两个相互垂直的特征向量）？如果这两
个特征值相等，会不会空间中任何一个向量都是特征向量？（对照第5问）从书上学来
好像如此，但是直观看好像又不是？
5. 三维空间的坐标方向的拉伸/压缩算子，是不是（一般）有三个特征值，各自对应一
个坐标轴？如果这三个特征值相等，那么空间中任何一个向量都是特征向量？
6. 一个线性算子是不是一定可以分解成上面这些算子的组合？
特征值问题我没有学精通，主要是原来头脑里面没有图像，只有书上学来的记住的东西
。现在想搞搞明白，建立些直观感觉。 |
c*******t
发帖数: 953 | 2 关于第4问，我又想了想。三维空间中有镜像算子（平面镜），也有直线镜像算子。对
这个直线镜像算子来说，似乎也是有两个特征值，一个对应于这个直线，另一个对应于
法平面，这个法平面里面可以有两个相互垂直的特征向量。如果这两个特征值相等，会
不会空间中任何一个向量都是特征向量？（对照第5问）从书上学来好像如此，但是直
观看好像又不是？ |
c*******t
发帖数: 953 | 3 我又想了想，如果线性算子是连续的（这个连续是我自己定义的，就是说相邻的向量被
算子作用后的像也相邻），这个特征向量的事情，是不是相当于泛函分析里面的地图不
动点定理？把球面看成是地图，算子作用后的像为另外一个地图，这两个地图重合在一
起，在哪些条件下有不动点？有几个不动点？ |
c*******t
发帖数: 953 | 4 我去查了不动点定理，我现在觉得根据不动点定理，和我对线性算子连续性的假设，我
的第一问对3维以及三维以上是成立的：“三维以及三维以上非singulard的矩阵都有至
少一个特征值”。对singular的我还没想好，可能可以不存在非0的特征值。 |
c*******t
发帖数: 953 | 5 百度百科的不动点例子有个是错的：“三维空间中的情况：如果我们用一个密封的锅子
煮水，那么总有一个水分子在煮开前的某一刻和煮开后的某一刻处于同样的位置。”这
是错的，相邻水分子不是总相邻，这不是个连续映射，所以不能有这个结论。简单的反
例：把上一半水和下一半水对调位置。 |
c*******t
发帖数: 953 | 6 我在第四楼里面的说法有误，根据Brouwer定理，只对奇维数空间是正确的（奇维数空
间内偶维数的球面）。对偶维数空间不成立（比如2维）。Brouwer定理见这个链接：
http://www.scipark.net/2011/10/不动点原理—几个直观的例子 |
s*******e
发帖数: 432 | 7 2. 二维空间的旋转算子是不是没有特征值？
it has imaginary eigenvalue but not real value |
